I slutet av det sista avsnittet hade vi visat att de inre vinklarna i en triangel alltid lägger till upp till 180 grader. Eller så verkade det. I slutändan utmanade jag dig att prova på ett projekt med en ballong som förhoppningsvis tvingade dig att ifrågasätta denna slutsats.
tog du mig upp på den utmaningen och försökte projektet? Om inte, är det inte för sent att ge det ett försök. Och du borde definitivt eftersom det kommer att tvinga dig att tänka på frågor som ” hur många grader är i en triangel?,”och” går parallella linjer någonsin över?”på ett helt nytt sätt.
Varför är det så? Tja, det visar sig att den typ av geometri du lärde dig i skolan inte är den enda typen av geometri. Och som en enkel ballong kan visa dig, är konsekvenserna av denna andra typ av geometri ganska överraskande.
.
ballonger, trianglar och vinklar
för några månader sedan fick min dotter sin första ballong vid sin första födelsedagsfest. Ända sedan den dagen har ballonger blivit nästan det mest fantastiska i hennes värld., Efter hennes fest bestämde hon sig för att kalla sin ballong ”ba” och nu har allt som är runt också kallats ”ba.”En boll? En ”ba.”Månen? Japp, också en ” ba.”
varför bestämde hon sig för att ballonger-och alla andra runda objekt-är så fascinerande? Jag kan vara partisk i denna tro, men jag har kommit till slutsatsen att det är för att de är så bra på att visa några fantastiska egenskaper av vad som kallas icke-euklidisk geometri. Okej, det är nästan säkert inte sant … men mattefläkten i mig skulle vilja tro det.,
som jag beskrev förra gången kan du få en glimt av en av dessa egenskaper genom att utföra ett enkelt matte-och-hantverksprojekt. Allt du behöver göra är att få en oinflaterad ballong, lägg den på en plan yta och dra så nära en perfekt triangel på den som möjligt. Om du har en gradskiva, skulle det vara en bra tid att mäta sina vinklar och se till att de lägger till upp till cirka 1800.
blås upp ballongen och ta en titt på din en gång perfekta triangel. Vad hände med den? Lägger dess vinklar fortfarande upp till 1800?, För att förstå vad du ser måste vi prata om skillnaderna mellan vad som kallas euklidisk och icke-euklidisk geometri.
Vad är euklidisk geometri?
eftersom vi talar om geometri, skulle vi först bäst fastställa vad vi menar med ”geometri.”I breda termer är geometri sfären av matematik där vi pratar om saker som punkter, linjer, vinklar, trianglar, cirklar, kvadrater och andra former, liksom egenskaperna och relationerna mellan egenskaperna hos alla dessa saker.
den typ av geometri vi vanligtvis lär oss i skolan kallas euklidisk geometri.,
vilken typ av geometri vi vanligtvis lär oss i skolan—och vilken typ av geometri vi brukar tänka på när vi tänker på ”geometri”—kallas euklidisk geometri. Varför ett sådant Riktigt namn? Euklidisk geometri får sitt namn från den antika grekiska matematikern Euclid som skrev en bok som heter elementen över 2000 år sedan där han skisserade, härledde och sammanfattade de geometriska egenskaperna hos objekt som finns i ett platt tvådimensionellt plan. Det är därför euklidisk geometri är också känd som ” plan geometri.,”
I plan geometri lägger de inre vinklarna av trianglar upp till 1800, två parallella linjer korsar aldrig, och det kortaste avståndet mellan två punkter är alltid en rak linje.
Vad är icke-euklidisk geometri?
men det visar sig att inte allt lever i en tvådimensionell platt värld och därför är inte allt bundet av flygets euklidiska geometri. Till exempel: Du, jag och hela mänskligheten lever på jordens yta, och jorden är inte platt. Det är faktiskt ett ungefär sfäriskt objekt., Vilket innebär att reglerna för plangeometri inte styr våra liv.
för att förstå vad detta innebär, Låt oss gå tillbaka en minut till ballonger. En oinflaterad ballong är ett platt föremål, och bor därför inom sfären av euklidisk geometri. I denna värld har snyggt ritade trianglar 1800. Men så fort du blåser upp din ballong är ytan inte längre platt – den blir sfärisk, och det leder den till sfären av vad som kallas icke-euklidisk geometri.,
termen icke-euklidisk låter väldigt snygg, men det betyder verkligen bara någon typ av geometri som inte är euklidisk—dvs det finns inte i en platt värld. En icke-euklidisk geometri är en omprövning och omskrivning av egenskaperna hos saker som punkter, linjer och andra former i en icke-platt värld. Sfärisk geometri-som är typ av plan geometri skev på ytan av en sfär-är ett exempel på en icke-euklidisk geometri.
icke-euklidisk geometri i den verkliga världen
i platt plan geometri har trianglar 1800., I sfärisk geometri lägger de inre vinklarna av trianglar alltid upp till mer än 1800. Du såg detta med din uppblåsta ballong, men du kan också se det genom att tänka på jorden.
i sfärisk geometri lägger de inre vinklarna av trianglar alltid upp till mer än 1800.
Tänk dig att du börjar vid jordens Nordpolen och går söderut tills du når ekvatorn. Du går sedan direkt österut tills du reser 1/4 av vägen runt planeten. Slutligen vänder du tillbaka norrut och återvänder till Nordpolen., Om du tänker på det ser du att den väg du har rest är en triangel på jordens sfäriska yta. Och det galna är att alla tre vinklarna i denna ”triangel” är rät vinkel—så dess inre vinklar lägger till upp till 90 x 3 = 2700.
Här är en annan galen sak: paret linjer som representerar de två sidorna av triangeln som markerar de nord-sydliga benen på din resa är ”parallella” med varandra—i den meningen att de båda kör i nord-sydlig riktning. Men de korsar vid Nordpolen! Och Sydpolen!, Så även om de går i samma riktning, är de inte parallella som de aldrig korsade parallella linjerna av plangeometri.
och bara om det inte räcker för att få dig att tro att icke-euklidisk geometri är full av överraskningar, här är en annan. I ett välkänt fall av ” Huh? Hur är det möjligt?”det visar sig att den kortaste vägen att flyga från Florida till Filippinerna (som, märk väl, är på en mer sydlig latitud än Florida) är att flyga över Alaska! Hur är det möjligt? Jag ska låta dig tänka på det … men se till att kolla tillbaka nästa gång för svaret.,
avsluta
OK, det är all matte vi har tid för idag.
var noga med att kolla in min bok, matte Dude snabb och smutsig Guide till Algebra. Och kom ihåg att bli ett fan av Math Dude på Facebook, där du hittar massor av bra matematik publiceras under hela veckan. Om du är på Twitter, Följ mig där också.
tills nästa gång, Detta är Jason Marshall med matte killen snabba och smutsiga Tips för att göra matte lättare. Tack för att du läste, math fans!
Sphere bild artighet av .