Jag kommer nu att visa dig min preferredway att hitta en invers av en 3 av 3 matris. Och jag tycker faktiskt att det är mycket roligare. Och du är mindre sannolikt attgöra slarviga misstag. Men om jag minns rätt fromAlgebra 2, lärde de inte det här sättet i Algebra 2. Och det var därför jag lärde migandra sätt i början. Men låt oss gå igenom det här. Och i en framtida video kommer jag attvarja dig varför det fungerar. För det är alltidviktigt., Men i linjär algebra är dettaEn av de få ämnen där jag tycker att det är väldigt viktigtlära sig hur man gör operationerna först. Sen lär vi oss varför. Eftersom hur ärmycket mekanisk. Och det innebär verkligen baravissa grundläggande aritmetiska för det mesta. Men varför tenderar att vara ganska djup. Så jag lämnar det till senare videor. Och du kan ofta tänka pådjupet av saker när du har förtroende för att du minst förstår hows. Så hur som helst, låt oss gå tillbaka till vår ursprungliga matris. Och vad var den originalmatrisen som jag gjorde i den senaste videon? Det var 1, 0, 1, 0,2, 1, 1, 1, 1., Och vi ville hitta den inversen av denna matris. Så det här är vad vi ska göra. Det kallas Gauss-Jordaneliminering, för att hitta inversen av matrisen. Och hur du gör det-och itmight verkar lite som magi, kan det tyckas vara en littlebit som voodoo, men jag tror att du kommer att se i framtiden videoklipp thatit gör ett mycket vettigt. Vad vi gör är att vi förstärker denna matris. Vad betyder augment? Det betyder att vi bara lägger tillnågot till det. Så jag ritar en skiljelinje. Vissa gör det inte, så om jag lägger en utdelning här. Och vad lägger jag på den andrasidan av skiljelinjen?, Jag satte identitetsmatrixen av samma storlek. Detta är 3 av 3, så jag satte a3 av 3 identitetsmatris. Så det är 1, 0, 0,0, 1, 0, 0, 0, 1. Vad ska vi göra? Vad jag ska göra är att utföraen serie elementära radoperationer. Och jag ska berätta vadär giltiga elementära radoperationer på denna matris. Men vad jag än gör med någon av dessa rader här, måste jag göra med motsvarande här. Och mitt mål är i huvudsak attbilda en massa operationer på vänster sida., Och självklart kommer desammaoperationer att tillämpas på höger sida, så att Ieventually sluta med identitetsmatrisen på den vänstra sidan. Och sedan när jag har theidentity matrix på vänster sida, vad jag har kvar på högra sidan kommer att vara inversen av dettaoriginal matris. Och när detta blir anidentity matris, som egentligen heter reducedrow echelon form. Och jag ska prata mer om det. Det finns många namn och etiketter i linjär algebra. Men de är verkligen bara rättvisaenkla begrepp. Men hur som helst, låt oss börja medoch det här borde bli lite klart., Åtminstone processenkommer att bli tydlig. Kanske inte varför det fungerar. Så först av allt, jag sa att jag kommer att utföra en massa operationer här. Vad är legitimaoperationer? De kallas elementaryrow verksamhet. Så det finns ett kopplingar jag kan göra. Jag kan ersätta alla rowwith den raden multiplicerad med ett nummer. Så jag kunde göra det. Jag kan byta två rader. Och om jag byter säger första och andra raden, så måste jag göra det här också. Och jag kan lägga till eller subtrahera onerow från en annan rad. Så när jag gör det-så kan jag till exempel ta den här raden och ersätta den med den här raden., Och du får se vad Imean i den andra. Och du vet, om du kombinerar det, kan du säga, ja jag kommer att flera dessa gånger negativa 1, och lägga till den här raden, och ersätt den här raden med det. Så om du börjar känna dig somdetta är något som vad du lärde dig när du lärde diglösningssystem med linjära ekvationer, det är ingen slump. Eftersom matriser är faktisktett mycket bra sätt att representera det, och jag kommer att visa dig det snart. Men hur som helst, låt oss göra någraelementära radoperationer för att få den här vänstra sidan iutförd rad echelonform., Vilket bara är ett fint sätt att säga, Låt oss göra det till identitetsmatrisen. Så låt oss se vad vi vill göra. Vi vill ha 1 ’ Sall över här. Vi vill att de här ska vara 0 ’ s. låt oss se hur vi kan göra det här effektivt. Låt mig rita matrisen igen. Så låt oss få en 0 här. Det vore bekvämt. Så jag ska hålla thetop två rader samma. 1, 0, 1. Jag har min skiljelinje. 1, 0, 0. Jag har inte gjort nåt där. Jag gör inget till andra raden. 0, 2, 1. 0, 1, 0. Och vad jag ska göra, kommer jag att ersätta denna rad– och bara så du vet mymotivation, mitt mål är att få en 0 här., Så jag är lite närmare att ha identitetsmatrisen här. Så hur får jag en 0 här? Vad jag kunde göra är att jag kan ersättaden här raden med denna rad minus den här raden. Så jag kan ersätta den tredje raden med den tredje raden minus den första raden. Så vad är den tredje radenminus den första raden? 1 minus 1 är 0. 1 minus 0 är 1. 1 minus 1 är 0. Jo jag gjorde det på vänster sida, så jag måste göra det på höger sida. Jag måste ersätta detta med detta minus detta. Så 0 minus 1 är minus 1. 0 minus 0 är 0. Och 1 minus 0 är 1. Okej. Vad kan jag göra?, Den här raden här, den här tredje raden, den har 0 och 0-det ser ut som vad jag vill ha för min andra rad i identitetsmatrisen. Så varför inte jag bara swapthese två rader? Varför byter jag inte bara första och andra raden? Så låt oss göra det. Jag ska byta firstand andra rader. Så den första rowstays samma. 1, 0, 1. Och då stannar den andra sidansamma också. Och jag byter den andra och tredje raden. Så nu är min andra rad nu 0, 1, 0. Och jag måste byta den på höger sida. Så det är minus 1, 0, 1. Jag byter bara de här två., Så då min tredje rad nublir vad den andra raden var här. 0, 2, 1. Och 0, 1, 0. Okej. Vad vill jag göra nu? Det vore trevligt om jag hade en 0 här. Det skulle få mig att muchcloser till identitetsmatrisen. Så hur skulle jag kunna komma hit? Tja vad händer om jag subtraherade 2times rad två från rad ett? Eftersom detta skulle vara 1 gånger 2 är 2. Och om jag subtraherar det från det här, får jag en 0 här. Så låt oss göra det. Så den första raden harbeen mycket lycklig. Det har inte behövt göra någonting. Den sitter bara där. 1, 0, 1, 1, 0, 0. Och den andra raden ändras inte för nu. Minus 1, 0, 1., Vad sa jag att jag skulle göra? Jag kommer att subtrahera 2 gångerrow två från rad tre. Så det här är 0 minus2 gånger 0 är 0. 2 minus 2 gånger 1 är 0. 1 minus 2 gånger 0 är 1. 0 minus 2 gånger negativ 1 är — så låt oss komma ihåg 0 minus 2 gånger negativ 1. Så det är 0 minus negativ2, så det är positivt 2. 1 minus 2 gånger i 0. Tja det är bara fortfarande 1. 0 minus 2 gånger 1. Så det är minus 2. Har jag gjort det rätt? Jag vill bara vara säker. 0 minus 2 gånger-höger, 2gånger minus 1 är minus 2. Och jag subtraherar det, så det är plus. Okej, så jag är nära., Detta ser nästan ut som deidentitetsmatrisen eller reducerad rad echelonform. Förutom den här. Så jag kommer äntligen att haatt röra den översta raden. Och vad kan jag göra? Tja vad sägs om att jag byter toprow med den övre raden minus den nedre raden? För om jag subtraherar detta från det, kommer det att få en 0 där. Så låt oss göra det. Så jag ersätter toprow med den översta raden minus den tredje raden. Så 1 minus 0 är 1. 0 minus 0 är 0. 1 minus 1 är 0. Det var hela vårt mål. Och sedan 1 minus 2är negativ 1. 0 minus 1 är negativ 1. 0 minus 2. ja, det är positivt 2., Och sedan de andra radernastanna detsamma. 0, 1, 0, minus 1, 0, 1. Och sedan 0, 0, 1, 2,1, negativ 2. Och där har du det. Vi har utfört en serie av operationer på vänster sida. Och vi har utfört samma operationer på höger sida. Detta blev identitetenmatris, eller reducerad rad echelon form. Och vi gjorde detta med hjälp avgauss-Jordan eliminering. Och vad är det här? Tja, det här är inversen avden här ursprungliga matrisen. Denna gång kommer detta att liknaidentitetsmatrisen. Så om det här är en, dåDetta är en invers. Och det är allt du behöver göra., Och som du kunde se tog det här halva tiden och krävde mycket mindrefri matematik än när jag gjorde det med hjälp av den gemensamma ochkofaktorerna och determinanten. Och om du tänker på det, jag ska ge dig en liten antydan till varför detta fungerade. Var och en av dessa operationer gjorde på vänster sida, du kan se dem sommultiplying– du vet, för att komma härifrån till här,multiplicerade jag. Du kan Typ säga detDet finns en matris. Att om jag multiplicerat med thatmatrix, det skulle ha utfört denna operation. Och då skulle jag ha haft tillmultiplicera av en annan matris för att göra denna operation., Så i huvudsak vad vi gjorde ärvi multiplicerat med en serie matriser för att komma hit. Och om du multiplicerade allof dem, vad vi kallar elimineringsmatriser, tillsammans multiplicerar du väsentligen denna tidden inversa. Vad är det jag säger? Så om vi har en, att gå frånhär till här, måste vi multiplicera en gångerlimineringsmatris. Och detta kan vara heltförvirrar för dig, så ignorera det om det är, men det mightbe insiktsfulla. Så vad eliminerade vi här? Vi eliminerade 3, 1. Vi multiplicerade med eliminationsmatrisen 3, 1, för att komma hit. Och sedan, för att gå frånhär till här, vi har multiplicerat med någon matris., Och jag ska berätta mer. Jag ska visa dig hur vi kan bygga dessa elimineringsmatriser. Vi multiplicerar med en elimineringmatris. Vi har faktiskt bytt rad här. Jag vet inte vad du vill kalla det. Du kan kalla det bytesmatrisen. Vi bytte rad två för tre. Och sedan här, vi mångdubblades av elimination matrix — vad gjorde vi? Vi eliminerade detta, sothis var rad tre, kolumn två, 3, 2. Och slutligen,för att komma hit, var vi tvungna att multiplicera med elimineringsmatris. Vi var tvungna att eliminera det här. Så vi eliminerade rowone, kolumn tre., Och jag vill att du ska veta rättnu att det inte är viktigt vad dessa matriser är. Jag ska visa dig hur vi kan konstruera dessa matriser. Men jag vill bara att du ska ha ett hopp av tro att var och en av dessa operationer kunde ha gjorts genom att multiplicera med någon matris. Men vad vi vet är att alla dessa matriser gör att vi i huvudsak har identitetsmatrisen. Här borta. Så kombinationen av alladessa matriser, när du multiplicerar dem med varandra, måste detta vara den inversa matrisen. Om jag skulle multiplicera var och en av dessa eliminering och rad swap matriser, detta måste vara den inversa matrisen av a., För om du multipliceraralla gånger En, får du invers. Vad hände? Om dessa matriser arecollectively den inverse matrisen, om jag gör dem, om Imultiply identitetsmatrisen gånger dem — eliminationmatrisen, detta en gång som är lika med det. Det här är en gång likadant. Det här är en gång likadant. Och så vidare. Jag multiplicerar i huvudsak – när du kombinerar alla dessa-en omvänd tidsidentitetsmatrisen. Så om du tänker på det baraväldig helhetsbild – och jag vill inte förvirra dig. Det är bra nog om du bara förstod vad jag gjorde., Men vad jag gör från alla dessa steg, multiplicerar jag i huvudsak båda sidor av den här invigda matrisen, du kan kalla den, med en invers. Så jag multiplicerade detta med ainverse, för att komma till identitetsmatrisen. Men självklart, om jag multiplieradeden inversa matrisen gånger identitetsmatrisen, får jag den inversa matrisen. Men jag vill inte förvirra dig. Förhoppningsvis ger det dig en liten intuition. Jag gör det senare med någramer konkreta exempel., Men förhoppningsvis ser du att detta är mycket mindre Hårig än hur vi gjorde det med gemensamma och kofaktorerna och de mindre matriserna och bestämningsfaktorerna, och så vidare. Vi ses i nästa video.