væsentlige funktioner i Cantorian set theory
i bedste fald præsenterer ovenstående beskrivelse kun et intuitivt koncept for et sæt. Væsentlige elementer af begrebet, som Cantor forstået det omfatter: (1) at der er en gruppe i en enkelt enhed af genstande af enhver art, og (2), der, givet et objekt x og et sæt A, præcis en af de erklæringer x ∊ A og x ∉ A er sand og den anden falsk. Den konkrete relation, der måske eller måske ikke eksisterer mellem et objekt og et sæt kaldes medlemskab relation.,
en yderligere hensigt med denne beskrivelse formidles af det, der kaldes udvidelsesprincippet—et sæt bestemmes af dets medlemmer snarere end af nogen bestemt måde at beskrive sættet på. Sæt A og B er således ens, hvis og kun hvis hvert element i A også er i B, og hvert element i B er i A; symbolsk betyder A A A implies B B og vice versa. Der findes for eksempel nøjagtigt et sæt, hvis medlemmer er 2, 3, 5 og 7., Det er ligegyldigt, om dets medlemmer beskrives som “primtal mindre end 10” eller opført i en eller anden rækkefølge (hvilken rækkefølge er uvæsentlig) mellem små seler, muligvis {5, 2, 7, 3}.
de positive heltal {1, 2, 3, …} bruges typisk til at tælle elementerne i et begrænset sæt. For eksempel kan sæt {A, B, c} sættes i en-til-en korrespondance med elementerne i sæt {1, 2, 3}. Tallet 3 kaldes kardinalnummeret eller kardinaliteten af sættet {1, 2, 3} samt ethvert sæt, der kan sættes i en en-til-en-korrespondance med det., (Fordi det tomme sæt ikke har nogen elementer, er dets kardinalitet defineret som 0.) Generelt er et sæt A begrænset, og dets kardinalitet er n, hvis der findes en parring af dens elementer med sættet {1, 2, 3, …, n}. Et sæt, for hvilket der ikke er en sådan korrespondance, siges at være uendelig.
for at definere uendelige sæt brugte Cantor prædikatformler. Udtrykket “professor er professor” er et eksempel på en formel; hvis symbolet.i denne sætning erstattes af navnet på en person, resulterer der en deklarativ sætning, der er sand eller falsk. Notationen S ()) vil blive brugt til at repræsentere en sådan formel., Udtrykket “professor er professor ved universitetet y og and er en mand” er en formel med to variabler. Hvis forekomsten af y og y erstattes af navne på passende, specifikke objekter, er resultatet en erklærende sætning, der er sand eller falsk. Givet nogen formel s ()), der indeholder bogstavet. (og muligvis andre), Cantor princip om abstraktion hævder eksistensen af et sæt en sådan, at for hvert objekt if, A A A hvis og kun hvis S ()) holder., (Matematikere formulerede senere et begrænset abstraktionsprincip, også kendt som forståelsesprincippet, hvor selvreferencerende prædikater eller S(A) udelukkes for at forhindre visse paradokser. Se nedenfor Kardinalitet og transfinite numre.) På grund af forlængelsesprincippet skal Sættet a svarende til s (() være unikt, og det symboliseres af {|/S (.)}, som læses “sættet af alle objekter such sådan at S (.).”For eksempel er {{ / . blå} sættet af alle blå objekter., Dette illustrerer det faktum, at abstraktionsprincippet indebærer eksistensen af sæt, hvis elementer er alle objekter med en bestemt egenskab. Det er faktisk mere omfattende. For eksempel hævder det eksistensen af et sæt B svarende til “enten x er en astronaut eller is er et naturligt tal.”Astronauter har ingen særlig ejendom til fælles med tal (bortset fra at begge er medlemmer af B).