Am Ende der letzten Episode hatten wir bewiesen, dass sich die Innenwinkel eines Dreiecks immer um 180 Grad addieren. Oder so schien es. Ganz am Ende forderte ich Sie auf, sich an einem Projekt mit einem Ballon zu versuchen, das Sie hoffentlich dazu zwang, diese Schlussfolgerung in Frage zu stellen.
Hast du mich dieser Herausforderung angenommen und das Projekt ausprobiert? Wenn nicht, ist es nicht zu spät, es zu versuchen. Und Sie sollten auf jeden Fall, da es Sie zwingen wird, über Fragen wie „Wie viele Grad sind in einem Dreieck zu denken?,“und“ Kreuzen sich jemals parallele Linien?“auf ganz neue Weise.
Warum ist das so? Nun, es stellt sich heraus, dass die Art von Geometrie, die Sie in der Schule gelernt haben, nicht die einzige Art von Geometrie ist. Und wie ein einfacher Ballon Ihnen zeigen kann, sind die Implikationen dieser anderen Art von Geometrie ziemlich überraschend.
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Luftballons, Dreiecke und Winkel
Vor einigen Monaten bekam meine Tochter ihren ersten Ballon auf ihrer ersten Geburtstagsfeier. Seit diesem Tag sind Ballons fast das Erstaunlichste in ihrer Welt geworden., Nach ihrer Party beschloss sie, ihren Ballon “ ba “ zu nennen, und jetzt wurde so ziemlich alles, was rund ist, auch „ba“ genannt.“Ein ball? Eine „ba.“Der Mond? Ja, auch ein „ba.“
Warum hat sie entschieden, dass Ballons—und jedes andere runde Objekt-so faszinierend sind? Ich mag in diesem Glauben voreingenommen sein, aber ich bin zu dem Schluss gekommen, dass sie so gut darin sind, einige erstaunliche Eigenschaften der sogenannten nicht-euklidischen Geometrie zu demonstrieren. OK, das ist mit ziemlicher Sicherheit nicht wahr…aber der Mathe-Fan in mir würde es gerne glauben.,
Wie ich das letzte Mal beschrieben habe, können Sie einen Einblick in eine dieser Eigenschaften erhalten, indem Sie ein einfaches Mathematik-und Handwerksprojekt durchführen. Alles, was Sie tun müssen, ist einen nicht aufgeblasenen Ballon zu bekommen, ihn auf eine ebene Fläche zu legen und einem perfekten Dreieck so nahe wie möglich zu kommen. Wenn Sie einen Winkelmesser haben, ist dies ein guter Zeitpunkt, um die Winkel zu messen und sicherzustellen, dass sie sich auf ungefähr 1800 summieren.
Sprengen Sie jetzt den Ballon und werfen Sie einen Blick auf Ihr einst perfektes Dreieck. Was ist damit passiert? Addieren sich seine Winkel noch zu 1800?, Um zu verstehen, was Sie sehen, müssen wir über die Unterschiede zwischen der sogenannten euklidischen und der nichteuklidischen Geometrie sprechen.
Was ist euklidische Geometrie?
Da wir über Geometrie sprechen, sollten wir zuerst herausfinden, was wir unter „Geometrie“ verstehen.“Im Großen und Ganzen ist Geometrie der Bereich der Mathematik, in dem wir über Dinge wie Punkte, Linien, Winkel, Dreiecke, Kreise, Quadrate und andere Formen sowie die Eigenschaften und Beziehungen zwischen den Eigenschaften all dieser Dinge sprechen.
Die Art der Geometrie, die wir normalerweise in der Schule lernen, wird als euklidische Geometrie bezeichnet.,
Die Art der Geometrie, die wir normalerweise in der Schule lernen—und die Art der Geometrie, an die wir normalerweise denken, wenn wir an „Geometrie“denken—wird als euklidische Geometrie bezeichnet. Warum so ein richtiger Name? Die euklidische Geometrie hat ihren Namen vom antiken griechischen Mathematiker Euklid, der vor über 2.000 Jahren ein Buch mit dem Titel The Elements schrieb, in dem er die geometrischen Eigenschaften von Objekten, die in einer flachen zweidimensionalen Ebene existieren, skizzierte, ableitete und zusammenfasste. Aus diesem Grund wird die euklidische Geometrie auch als „Ebenengeometrie“ bezeichnet.,“
In der Ebenengeometrie addieren sich die Innenwinkel von Dreiecken zu 1800, zwei parallele Linien kreuzen sich nie und der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten ist immer eine gerade Linie.
Was ist nicht-euklidische Geometrie?
Aber es stellt sich heraus, dass nicht alles in einer zweidimensionalen flachen Welt lebt und daher nicht alles an die Gesetze der ebenen euklidischen Geometrie gebunden ist. Zum Beispiel: Du, ich und die ganze Menschheit leben auf der Erdoberfläche, und die Erde ist nicht flach. Es ist in der Tat ein ungefähr kugelförmiges Objekt., Was bedeutet, dass die Regeln der Ebenengeometrie unser Leben nicht beherrschen.
Um zu verstehen, was dies bedeutet, gehen wir für eine Minute zu Ballons zurück. Ein nicht aufgeblasener Ballon ist ein flaches Objekt und lebt daher im Bereich der euklidischen Geometrie. In dieser Welt sind schön gezeichnete Dreiecke entstanden. Aber sobald Sie Ihren Ballon aufblasen, ist seine Oberfläche nicht mehr flach—er wird kugelförmig, und das bringt ihn in den Bereich der sogenannten nicht-euklidischen Geometrie.,
Der Begriff Nicht-euklidisch klingt sehr schick, aber er bedeutet wirklich nur jede Art von Geometrie, die nicht euklidisch ist—dh die in einer flachen Welt nicht existiert. Eine nicht-euklidische Geometrie ist ein Umdenken und eine Neufassung der Eigenschaften von Dingen wie Punkten, Linien und anderen Formen in einer nicht-flachen Welt. Die sphärische Geometrie—eine Art ebene Geometrie, die auf die Oberfläche einer Kugel verzerrt ist—ist ein Beispiel für eine nicht-euklidische Geometrie.
Nicht-euklidische Geometrie in der realen Welt
In der flachen Ebenengeometrie haben Dreiecke 1800., In der Kugelgeometrie summieren sich die Innenwinkel von Dreiecken immer auf mehr als 1800. Sie haben dies mit Ihrem aufgeblasenen Ballon gesehen, aber Sie können es auch sehen, indem Sie an die Erde denken.
In der Kugelgeometrie summieren sich die Innenwinkel von Dreiecken immer auf mehr als 1800.
Stellen Sie sich vor, Sie beginnen am Nordpol der Erde und gehen nach Süden, bis Sie den Äquator erreichen. Sie gehen dann direkt nach Osten, bis Sie 1/4 des Weges um den Planeten reisen. Schließlich kehren Sie nach Norden zurück und kehren zum Nordpol zurück., Wenn Sie darüber nachdenken, werden Sie sehen, dass der Weg, den Sie zurückgelegt haben, ein Dreieck auf der kugelförmigen Erdoberfläche ist. Und das Verrückte ist, dass alle drei Winkel dieses „Dreiecks“ rechtwinklig sind—so summieren sich seine Innenwinkel auf 90 x 3 = 2700.
Hier ist noch eine verrückte Sache: Das Linienpaar, das die beiden Seiten des Dreiecks darstellt, die die Nord-Süd—Beine Ihrer Reise markieren, ist „parallel“ zueinander-in dem Sinne, dass beide in Nord-Süd-Richtung verlaufen. Aber sie kreuzen sich am Nordpol! Und der Südpol!, Obwohl sie in die gleiche Richtung gehen, sind sie nicht parallel wie die sich nie kreuzenden parallelen Linien der Ebenengeometrie.
Und nur für den Fall, dass das nicht genug ist, um Sie zu denken, dass nicht-euklidische Geometrie voller Überraschungen ist, hier ist eine andere. In einem bekannten Fall von „Huh? Wie ist das möglich?“es stellt sich heraus, dass der kürzeste Weg, um von Florida auf die Philippinen zu fliegen (was wohlgemerkt auf einem südlicheren Breitengrad als Florida liegt), darin besteht, über Alaska zu fliegen! Wie ist das möglich? Ich lasse Sie darüber nachdenken…aber schauen Sie das nächste Mal nach der Antwort.,
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OK, das ist die ganze Mathematik, die wir heute haben.
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Sphere Bild mit freundlicher Genehmigung von .