PEMDAS Paradox

det ser trivialt men det fortsätter att gå viral. Vilket svar får du närdu beräknar ? Denna fråga har nått varje hörn av sociala medier, och har haft miljontals människor svarar med två vanliga svar: och .

Du kanske tror att hälften av dessa människor har rätt och den andra hälften måste kontrollera deras aritmetik. Men det spelar aldrig ut som det; respondenter på båda sidor försvarar sina svar medFörtroende., Det har inte funnits några formella matematiska publikationer omproblemet, men ett växande antal matematiker kan förklara vad som händer: är inte ett väldefinierat uttryck.

väldefinierad är en viktig term i matematik. Det betyder i huvudsak att en viss inputalltid ger samma produktion. Alla matematiklärare är överens om att , och att . De extra parenteserna (parenteserna) tar bort tvetydigheten och dessa uttryck är väldefinierade., De flesta andra virala matematiska problem, som (se här), är väldefinierade, med ett korrekt svar och ett (ormore) vanligt felaktigt svar. Men att beräkna värdet avuttryck är en fråga om konvention. Varken svar, eller, är fel; det beror på vad du lärde dig från din mattelärare.,

ordningen för att utföra matematiska operationer ges av de olikamnemonik PEMDAS, BODMAS, BIDMAS och BEDMAS:

• P (eller B): beräkna först värdet av uttryck inom alla parenteser (parenteser);
• e (eller o eller i): nästa beräkna eventuella exponenter (order/index);
• MD (eller DM): utför sedan eventuella multiplikationer och divisioner, som arbetar från vänster till höger.höger;
• Som: och slutligen utföra några tillägg och subtraktioner, som arbetar från vänster till höger.,

Två något olika tolkningar av PEMDAS (eller BODMAS, etc)har undervisat runt om i världen, och PEMDAS Paradoxen belyser skillnaden. Båda sidor är väsentligt populära och det finns för närvarande ingen standard för konventionen worldwide.So du kan stoppa den Twitter-diskussionen och vara säker på att var och en av er kan vara korrektminner om vad du lärde dig – det är bara att du lärdes annorlunda.,

de två sidorna

mekaniskt, folket på ”9” – sidan – till exempel i den mestpopulära YouTube-videon pådenna fråga-tenderar att beräkna, eller kanske skriver de det som. Människor på denna sida tenderar att säga att kan när som helst ersättas med . Det kan reduceras till det: undervisningen att” alltid är utbytbar med”bestämmer PEMDAS Paradoxs svar att vara.,

på ”1” – sidan beräknar vissa personer, medan andra påpekar distributionsegenskapen,. Drivprincipen på denna sida är att underförstådd multiplikation via juxtaposition tar prioritet. Detta har undervisats i matematik klassrum runt om i världen och är också en angiven konvention i vissa programmeringskontexter. Så här är undervisningen som ” alltid utbytbar med ” bestämmer PEMDAS Paradox-svaret att vara .,

matematiskt är det inkonsekvent att samtidigt tro att är utbytbart med och att är utbytbart med . För då följer att via argumenten i föregående stycken. Anländer till denna motsägelse är logisk, helt enkelt illustrerar att vi inte kan ha båda svaren. Det belyser också det faktum att ingen av dessa tolkningar är inneboende för PEMDAS., Båda är subtila ytterligare regler som bestämmer vad man ska göra med syntax odditeter som , och så, att acceptera ingen av dem ger den formella matematiska slutsatsen att inte är väldefinierad. Det är också därför du inte kan ”korrigera” varandra på ett tillfredsställande sätt: dina metoder är logiskt inkompatibla.

så oenigheten destillerar ner till detta: känns det som att alltid ska vara utbytbar med ?, Eller känns det som att alltid ska vara utbytbart med ? Du kan inte säga båda.

i praktiken svarar många matematiker och forskare på problemet genom att säga”otydlig syntax, behöver fler parenteser” och förklara varför det är tvetydigt, vilket är väsentligtdet rätta svaret. En ökänd bild visar två olika Casio räknare sida vid sidage ingången och visar de två olika svaren., Även om ”syntaxfel” utan tvekan skulle vara det bästa svaret som en kalkylator ska ge för detta problem, är det otroligt att de försöker förena tvetydigheten, och det är ok. Men för oss människor, efter att ha noterat båda konventionerna följs av stora skivor av världen, måste vi dra slutsatsen att för närvarande inte är väldefinierad.

stöd för båda sidor

det är ett faktum att Google, Wolfram och många fickkalkylatorer ger svaret på 9.Räknares svar här bestäms naturligtvis av deras inmatningsmetoder., Räknare är uppenbarligen inte de bästa domarna för PEMDAS Paradox. De helt enkeltreflekterar den nuvarande oenigheten om problemet: kalkylatorprogrammerare är i stor utsträckning medvetna omDet här exakta problemet och vet redan att det inte är standardiserat över hela världen, så om matematiklärare allunifieras på ett svar, skulle dessa programmerare följa.

Tänk på Wolfram Alpha, webbplatsen som ger en svarsmotor (som en sökmotor, men istället för att ge länkar till webbsidor, ger det svar på frågor, särskilt mattefrågor)., Den tolkar som , tolkar som och tolkar som linjen genom ursprunget med lutning en tredjedel. Alla tre är förenliga med varandra i programmeringssyfte, men de senare två känner sig udda för många observatörer. Vanligtvis om någon jots ner , menar de , och om de menade att säga , skulle de ha skrivit .,

däremot input I Wolfram Alpha och det ger sinusoid , snarare än linjen genom ursprunget med lutning . Detta exempel avviker från de tidigare exemplen på regeln” är utbytbart med ”, till förmån för att bättre fånga den uppenbara avsikten med inmatningen. Wolfram är bara en algoritm feebly försöker räkna ut innebörden av sina sensoriska ingångar., Som våra hjärnor. Hur som helst blir inmatningen av tolkad som ”six over cubed”, så klart Wolfram är inte myndigheten för att rätta till ful syntax.

på ”1” sidan, en nyligen utmärkt video av Jenni Gorham, en maths handledare med en examen ifysik, förklarar flera verkliga exempel som stöder denna tolkning. Hon pekar ut många tillfällen där forskare skriver för att betyda . Faktum är att du hittar rikliga exempel på detta i kemi,fysik och matematik läroböcker. Ms., Gorham och jag har svarat på PEMDAS Paradox och hon stöder formellt att problemet inte är väldefinierat, samtidigt som hon påpekar behovet av en konsensuskonvention för kalkylatorprogrammeringens skull. Hon argumenterar för att konsensus svaret bör vara 1 eftersom prejudikat av underförstådd multiplikation genom juxtaposition har varit konventet i större delen av världen i dessaformella sammanhang.

den stora bilden

det bör påpekas att konventioner inte behöver förenas., Om två av mina studentsargued över om det minst naturliga numret är 0 eller 1, skulle jag inte kalla någon av dem fel, ellerskulle jag ta problem med bristen på världsomspännande samförstånd i frågan. Wolfram vet att sambandet är uppdelat mellan två svar, och livet går vidare. Om alla som bryr sig bara lär sigatt PEMDAS paradoxen också har två populära svar (och därmed är det inte en väldefinierad fråga), då borde det vara tillfredsställande.

förhoppningsvis, efter att ha läst den här artikeln, det är tillfredsställande att förstå hur ett problem som ser sobasic har unikt kvardröjande., I verkliga livet bör du använda fler parentes och undvika tvetydighet. Och förhoppningsvis är det inte så oroande att matematiklärare worldwidevisas delas på denna konvention, eftersom det inte är så sällsynt och inte riktigt problematiskt, förutomkanske till kalkylatorprogrammerare.

för läsare som inte är helt nöjda med djupet i den här artikeln kanske mitt tidigare muchlonger papper inte kommer att svika., Det går längre in i detalj för att motivera formaliteterna för den logiskakonsistens mellan de två metoderna, liksom problemets historia och min erfarenhet av det.

om författaren

David Linkletter är en doktorand som arbetar med en doktorsexamen i ren matematik vid University of Nevada, Las Vegas, i USA. Hans forskning är i set theory-stora kardinaler. Han undervisar också grundutbildningskurser på UNLV; hans favoritklass att undervisa är diskreta matematik.