väsentliga funktioner i Cantorian set theory
i bästa fall presenterar den föregående beskrivningen endast ett intuitivt koncept för en uppsättning. Viktiga funktioner i konceptet som Cantor förstod det inkluderar: (1) att en uppsättning är en gruppering i en enda enhet av föremål av något slag, och (2) att, med ett objekt x och en uppsättning A, exakt en av uttalandena x A och x D är sant och den andra är falsk. Den bestämda relationen som kan eller inte kan existera mellan ett objekt och en uppsättning kallas medlemskap relation.,
en ytterligare avsikt med denna beskrivning förmedlas av vad som kallas förlängningsprincipen—en uppsättning bestäms av dess medlemmar snarare än av något speciellt sätt att beskriva uppsättningen. Således är satserna A och B lika om och endast om varje element i A också finns i B och varje element i B är i a; symboliskt innebär x a x B och vice versa. Det finns till exempel exakt en uppsättning medlemmar som är 2, 3, 5 och 7., Det spelar ingen roll om dess medlemmar beskrivs som ”primtal mindre än 10” eller anges i någon ordning (vilken ordning är oväsentlig) mellan små hängslen, eventuellt {5, 2, 7, 3}.
de positiva heltalen {1, 2, 3, …} används vanligtvis för att räkna elementen i en ändlig uppsättning. Till exempel kan uppsättningen {a, b, c} sättas i en-till-en korrespondens med elementen i uppsättningen {1, 2, 3}. Nummer 3 kallas kardinalnummer eller kardinalitet av uppsättningen {1, 2, 3} samt vilken uppsättning som helst som kan sättas i en en-till-en-korrespondens med den., (Eftersom den tomma uppsättningen inte har några element definieras dess kardinalitet som 0.) I allmänhet är en uppsättning A ändlig och dess kardinalitet är n om det finns en parning av dess element med uppsättningen {1, 2, 3,…, n}. En uppsättning för vilken det inte finns någon sådan korrespondens sägs vara oändlig.
För att definiera oändliga uppsättningar använde Cantor predikatformler. Uttrycket ”x är en professor” är ett exempel på en formel; om symbolen x i denna fras ersätts av en persons namn, resulterar det en deklarativ mening som är sann eller falsk. Notationen s (x) kommer att användas för att representera en sådan formel., Uttrycket ”x är en professor vid universitetet y och x är en manlig” är en formel med två variabler. Om förekomster av x och y ersätts med namn på lämpliga, specifika objekt, är resultatet en deklarativ mening som är sant eller falskt. Med tanke på någon formel S(x) som innehåller bokstaven x (och eventuellt andra), hävdar Cantor princip abstraktion förekomsten av en uppsättning en sådan att för varje objekt x, x a if och endast om s(x) innehar., (Matematiker formulerade senare en begränsad abstraktionsprincip, även känd som förståelseprincipen, där självreferenser predikat, eller S(A), utesluts för att förhindra vissa paradoxer. Se nedan kardinalitet och transfinitnummer.) På grund av förlängningsprincipen måste uppsättningen A som motsvarar s (x) vara unik, och den symboliseras av {x | S(x)}, som läses ”uppsättningen av alla objekt x så att S(x).”{X / x är till exempel blå} är uppsättningen av alla blå objekt., Detta illustrerar det faktum att abstraktionsprincipen innebär att det finns uppsättningar vars element är alla objekt som har en viss egendom. Det är faktiskt mer omfattande. Det hävdar till exempel förekomsten av en uppsättning B som motsvarar ”antingen x är en astronaut eller x är ett naturligt tal.”Astronauter har ingen särskild egenskap gemensamt med siffror (förutom att båda är medlemmar i B).