binomiala expansioner och Pascals triangel
binomialteoremen, som använder Pascals trianglar för att bestämma koefficienter, beskriver den algebraiska expansionen av befogenheter för en binomial.,
inlärningsmål
använd Binomialformeln och Pascals triangel för att expandera en binomial upphöjd till en kraft och hitta koefficienterna för en binomial expansion
Binomial Sats
Binomialsatsen är en algebraisk metod för att expandera ett binomialt uttryck. I huvudsak visar det vad som händer när du multiplicerar en binomial av sig själv (så många gånger du vill). Tänk till exempel på uttrycket (4x+y)^7. Det skulle ta ganska lång tid att multiplicera binomial (4x+y) ut sju gånger., Binomialteoremen ger en genväg, eller en formel som ger den expanderade formen av detta uttryck.
tänk till exempel på följande expansion:
\displaystyle {(x+y)}^{4}={x}^{4}+4{x}^{3}{y}+6{x}^{2}{y}^{2}+4x{y}^{3}+{y}^{4}
enligt binomialteoremen är det möjligt att expandera någon kraft av X + y till en summa av formuläret:
där varje värde \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} är ett specifikt positivt heltal som kallas binomialkoefficient. Denna formel kallas Binomialformeln., Med summeringsnotation kan den skrivas som:
\displaystyle { (x+y) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ n-k }{ y }^{ k }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ k }{ y}} {y}}} {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\begin {pmatrix} n \ \ \ end {pmatrix}}} {x} ^ {k} {y} {} ^ {n-k}
en betydande tid kan krävas för att tillämpa binomialsatsen och utföra alla beräkningar i ovanstående formel, särskilt för höga värden på n. därför är det som följer en genväg för att hitta binomiala expansioner med ett visuellt verktyg.,
Pascals triangel
Pascals triangel är ett alternativt sätt att bestämma koefficienterna som uppstår i binomiala expansioner, med hjälp av ett diagram snarare än algebraiska metoder. För en binomial expansion med en relativt liten exponent kan detta vara ett enkelt sätt att bestämma koefficienterna.
i diagrammet nedan märker du att varje nummer i triangeln är summan av de två direkt ovanför den. Detta mönster fortsätter på obestämd tid.,
Pascals triangel: varje nummer i triangeln är summan av de två direkt ovanför den.
raderna i Pascals triangel är numrerade, börjar med rad n = 0 överst. Posterna i varje rad är numrerade från vänster början med k = 0 och är vanligtvis förskjutna i förhållande till siffrorna i de intilliggande raderna. En enkel konstruktion av triangeln fortsätter på följande sätt. På rad 0 skriver du bara numret 1. Sedan, för att konstruera elementen i följande rader, lägg till de två ovanstående siffrorna för att hitta det nya värdet., Om något av ovanstående nummer inte är närvarande, ersätt en noll på plats. Till exempel är varje nummer i rad ett 0 + 1 = 1.,
för att förstå hur detta mönster gäller för binomialformeln, överväga expansionen:
\displaystyle {(x + y)}^{2} = {x}^{2} + 2XY + {y}^{2} = 1{x}^{2}{y}^{0} + 2{x}^{1}{y}^{1} + 1{x}^{0}{y}^{2}
\displaystyle {(X + Y)}^{N} = {A}_{0}{x}^{N} + {A}_{1}{x}^{n-1}y +{a}_{2}{x}^{n-2} {y}^{2} + \cdot\cdot\cdot {a}_{n-1}{x}{y}^{n-1} + {a}_{n}{y}^{n}
lägg märke till att hela höger diagonal av Pascals triangel motsvarar koefficienten y^n i dessa binomiala expansioner, medan nästa diagonal motsvarar koefficienten XY^{n−1} och så vidare.,
exempel: hitta expansionen av (x+y)^5 med Pascals triangel
Lägg märke till att n=5, och kom ihåg att detta skulle motsvara rad 5 i Pascals triangel.
Pascals triangel: Pascals triangel med 5 rader.,
\displaystyle {(x + y)}^{5} = {a}_{0}{x}^{5} + {a}_{1}{x}^{4}y +{a}_{2}{x}^{3} {y}^{2} + {a}_{3}{x}^2{y}^{3} + {a}_{4}{x}{y}^{4}+{a}_{5}{y}^{5}
\displaystyle {(X + Y)}^{5} = {x}^{5} + 5{x}^{4}{y} + 10{x}^{3}{y}^{2} + 10{x}^{2}y^{3} + 5{x}{y}^{4} + {y}^{5}
binomial expansion och faktoriell notation
den binomial teorem beskriver den algebraiska expansionen av krafter av en binomial.,
lärandemål
använd faktoriell notation för att hitta koefficienterna för en binomial expansion
minns att Binomialsatsen är en algebraisk metod för att expandera en binomial som höjs till en viss kraft, såsom (4x+y)^7., Theorem ges med formeln:
\displaystyle { (x+y) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ n-k }{ y }^{ k }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ k }{ y }^{ y}^{y}}}} {y}}}} {n} {pmatrix} {n-k}
koefficienten för en term x^{n−k} y ^ k i en binomial expansion kan beräknas med hjälp av kombinationsformeln. Minns att kombinationsformeln representerar antalet sätt att välja k-objekt bland n, där order inte spelar någon roll. Formeln består av factorials:
\displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac { n!, }{ k!(n-k)! }
exempel: använd binomialformeln för att hitta expansionen av (x+y)^4
börja med att ersätta n=4 i binomialformeln:
\displaystyle (x+y)^4=\sum _{ k=0 }^{ 4 }{ \begin{pmatrix} 4 \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ 4-k }{ y }^{ k }
för att lösa detta måste vi utöka summeringen för alla värden på k.
nu måste vi utvärdera var och en av de återstående kombinationerna:
\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac { 4! }{ 1!(4-1)! } = \frac { 4! }{ 1!3! } = 4
\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac { 4!, }{ 2!(4-2)! } = \frac { 4! }{ 2!2! } = 6
\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac { 4! }{ 3!(4-3)! } = \frac { 4! }{ 3!1! } = 4
att ersätta dessa heltal i expansionen har vi:
\displaystyle (X+y)^4 = { x }^{ 4} + 4 { x }^{ 3}{ y } + 6 { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } + 4 { x }{ y }^{ 3 } + { y }^{ 4 }
att hitta en viss Term
binomialens rth-term expansion kan hittas med ekvationen: { \begin{pmatrix} n \\ r-1 \end{pmatrix} }{ a }^{ n-(r-1) }{ b }^{ r-1 }.,
lärandemål
öva på att hitta en specifik term för en binomial expansion
viktiga Takeaways
nyckelpunkter
nyckeltermer
- heltal: ett element i den oändliga och numerbara uppsättningen \left \{ \cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \cdots \right \}.
låt oss gå igenom några expansioner av binomials, för att överväga några mönster som finns i villkoren.,
\displaystyle {(A+b)}^{1}=a+b
\displaystyle {(A+b)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}
\displaystyle {(A+b)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3A{B}^{2}+{b}^3
\displaystyle {(A+B)}^{4}={a}^{4}+4{a}^{3}B+6{a}^{2}{b}^{2}+4a{B}^{3}+{b}^4
några saker bör märkas:
om expansionen är kort, till exempel:
\displaystyle \begin{align} {(x+2)}^{3}&={x}^{3}+2{x}^{2}{2}^{1}+2{x}^{1}{2}^{2}+{2}^{3}\\ &={x}^{3}+4{x}^{2}+8{x}+8 \end{align}
då är det lätt att hitta en viss term., Detta blir svårt och tidskrävande när expansionen är stor. Det finns lyckligtvis en genväg för att identifiera särskilda villkor för längre expansioner. Följande formel ger RTH-termen i expansionen:
\displaystyle { \begin{pmatrix} n \\ r-1 \end{pmatrix} }{ a }^{ n-(r-1) }{ b }^{ r-1 }
minns att kombinationsformeln ger ett sätt att beräkna \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}:
\displaystyle {\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{n!}{(n-k)!k!, }}
exempel: hitta den femte termen {(3x-4)}^{12}
\displaystyle {\begin{pmatrix} 12 \ \ 5-1 \ end{pmatrix} } {(3x) }^{ 12-(5-1) }{ (-4) }^{ 5-1 }
\displaystyle {\begin{pmatrix} 12 \ \ 4 \ end{pmatrix} } {(3x)}^{ 8 }{ (-4) }^{ 4 }
Kom ihåg att utvärdera \ begin{pmatrix} 12 \ \ 4 \ end{pmatrix} med hjälp av kombinationsformeln:
\displaystyle \ begin{align} \ frac{n!}{(n-k)!k! }&=\frac{12!}{(12-4)!4!, }\\ &=495 \end{align}
Subbing in \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}=495 i formeln har vi:
\displaystyle 495 {(3x)}^{ 8 }{ (-4) }^{ 4 }
När strömmen tillämpas på termerna är resultatet:
\ displaystyle 495 \ cdot 6561{x}^{8} \ cdot 256 =831409920{x}^{8}
således är den femte termen {(3x-4)}^{12} 831409920{x}^{8}.