Varianz und Standardabweichung Definition und Berechnung
Varianz und Standardabweichung sind weit verbreitete Maße für die Streuung von Daten oder, in Finanzen und Investitionen, Maße für die Volatilität von Vermögenspreisen.
Die Varianz ist definiert und berechnet als die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert. Standardabweichung wird als Quadratwurzel der Varianz oder in voller Definition berechnet, Standardabweichung ist die Quadratwurzel der durchschnittlichen quadratischen Abweichung vom Mittelwert.,
Diese Definitionen können verwirrend klingen, wenn sie zum ersten Mal angetroffen werden. Eine detaillierte Erklärung zur Berechnung beider Kennzahlen finden Sie unter Berechnung der Varianz und Standardabweichung in 4 einfachen Schritten.
Beschreibung vs. Prognose in der Statistik
In der allgemeinen Statistik werden zwei Hauptaufgaben ausgeführt. Ihr Ziel ist es, entweder etwas zu beschreiben, das bereits geschehen ist oder bereits existiert (beschreibende Statistik), oder etwas zu schätzen, das noch nicht geschehen ist oder nicht vollständig bekannt ist (Inferenzstatistik).,
Beschreibende Statistiken befassen sich mit dem Problem, wie wir bereits vorhandene Daten effektiv betrachten können. Inferenzstatistiken (der Schätz-und Prognoseteil der Statistik) befassen sich mit dem Problem, dass nicht alle Daten vorhanden sind.
Von diesen beiden breiten Bereichen der Statistik ist die Inferenzstatistik diejenige, die viel interessanter und viel häufiger in Finanzen und Investitionen verwendet wird. Schließlich müssen wir uns als Anleger oder Spekulanten oft dem Problem stellen, dass wir wissen wollen, was wir nicht wissen (zum Beispiel, ob die Aktienkurse morgen und um wie viel steigen oder fallen werden).,
Population vs. Stichprobe
Die Hauptaufgabe der Inferentialstatistik (oder Schätzung oder Prognose) besteht darin, eine Meinung zu etwas zu bilden, indem nur eine unvollständige Stichprobe von Daten verwendet wird.
In der Statistik ist es sehr wichtig, zwischen Population und Stichprobe zu unterscheiden. Eine Population ist definiert als alle Mitglieder (z. B. Vorkommen, Preise, Jahresrenditen) einer bestimmten Gruppe. Bevölkerung ist die ganze Gruppe.
Eine Stichprobe ist ein Teil einer Population, der zur Beschreibung der Merkmale (z. B. Mittelwert oder Standardabweichung) der gesamten Population verwendet wird., Die Größe einer Stichprobe kann weniger als 1% oder 10% oder 60% der Bevölkerung betragen, ist jedoch niemals die gesamte Bevölkerung.
Population vs. Stichprobenvarianz und Standardabweichung
Bei der Berechnung von Varianz und Standardabweichung ist es wichtig zu wissen, ob wir sie für die gesamte Population unter Verwendung aller Daten berechnen oder nur mit einer Stichprobe von Daten berechnen. Im ersten Fall nennen wir sie Populationsvarianz und Populationsstandardabweichung. Im zweiten Fall nennen wir sie sample variance und sample standard deviation.,
Beispiel 1: Populationsvarianz und Standardabweichung
Frage: Was ist die Standardabweichung der Renditen der 12 Fonds, in die ich investiert habe?
Es gibt keine Schätzung oder Prognose in dieser Aufgabe. Ich interessiere mich nur für die 12 Fonds, in die ich investiert habe, und mir sind die Tausenden anderer Fonds, die es auf der Welt gibt, egal. Meine Bevölkerung ist nur diese 12 Fonds. Ich habe alle Daten zur Verfügung, da es sehr einfach ist, die Leistungsdaten dieser 12 Fonds zu finden.,
Ich nehme die Leistung jedes der 12 Fonds im letzten Jahr, berechne den Mittelwert, dann die Abweichungen vom Mittelwert, quadriere die Abweichungen, summiere die quadratischen Abweichungen nach oben, dividiere durch 12 (die Anzahl der Fonds) und erhalte die Varianz. Dann ist die Quadratwurzel der Varianz die Standardabweichung. In diesem Fall nenne ich sie Populationsvarianz und Populationsstandardabweichung, da ich die Daten für die gesamte Population zur Verfügung habe.
Beispiel 2: Stichprobenvarianz und Standardabweichung
Frage: Was ist die Standardabweichung der Renditen von Aktienfonds im letzten Jahr in der Welt?,
Im Vergleich zur Berechnung der Standardabweichung konkret spezifizierter Aktienfonds möchte ich nun die Standardabweichung der Renditen aller Aktienfonds der Welt kennen. Meine Population ist jetzt viel größer als im vorherigen Beispiel. Es gibt Tausende von Aktienfonds auf der Welt. Einige von ihnen sind wahrscheinlich nicht auf dem Bloomberg, haben keine Website und veröffentlichen ihre Leistung nicht. Kurz gesagt, ich habe keine Chance, dass ich die Daten für alle Fonds erhalten könnte. Und selbst wenn ich könnte, würde es lange dauern und viel Geld kosten, alle Daten zu erhalten.,
Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel stehen mir jetzt nicht alle Daten zur Verfügung und ich muss die Standardabweichung der Population von einer Stichprobe abschätzen.
Schätzung der Standardabweichung der Population von einer Stichprobe
Wie mache ich das? Ich werde versuchen, die Daten für einige der Aktienfonds zu sammeln – diese Fonds werden meine Probe sein. Es ist nicht notwendig (und wahrscheinlich nicht möglich), die Daten für alle Fonds der Welt (die Bevölkerung) zu sammeln. Ich muss nur sicherstellen, dass meine Probe groß genug ist., Während die Daten für 5 Fonds wahrscheinlich nicht ausreichen würden, um die Standardabweichung für die gesamte Bevölkerung abzuschätzen, können die Daten von 100 Fonds ausreichen und immer noch sehr realistisch sein.
Unter Verwendung der Daten für diese 100 Fonds berechne ich die Varianz und Standardabweichung auf die gleiche Weise wie in Beispiel 1 mit meinen 12 Fonds.
Der Unterschied in der Berechnung: Population vs. Stichprobenvarianz
Es gibt nur einen kleinen Unterschied in der Berechnung der Varianz und es ist ganz am Ende davon., Für die Populations-und Stichprobenvarianz berechne ich den Mittelwert, dann die Abweichungen vom Mittelwert und quadriere dann alle Abweichungen. Ich summiere alle quadratischen Abweichungen auf. Bisher war es sowohl für die Populations-als auch für die Stichprobenvarianz gleich.
Wenn ich die Populationsvarianz berechne, dividiere ich die Summe der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert durch die Anzahl der Elemente in der Population (in Beispiel 1 teilte ich durch 12).
Wenn ich die Stichprobenvarianz berechne, dividiere ich sie durch die Anzahl der Elemente in der Stichprobe weniger eins. In unserem Beispiel 2 dividiere ich durch 99 (100 weniger 1).,
Infolgedessen ist die berechnete Stichprobenvarianz (und damit auch die Standardabweichung) etwas höher als wenn wir die Populationsvarianzformel verwendet hätten. Der Zweck dieses kleinen Unterschieds besteht darin, eine bessere und unvoreingenommene Schätzung der Varianz der Population zu erhalten (indem wir durch die um eins verringerte Stichprobengröße dividieren, kompensieren wir die Tatsache, dass wir nur mit einer Stichprobe und nicht mit der gesamten Population arbeiten).
Im Leitfaden zur Berechnung von Varianz und Standardabweichung berechneten wir Populationsvarianz und Standardabweichung., Für Stichprobenvarianz und Standardabweichung ist der einzige Unterschied in Schritt 4, wo wir jetzt durch die Anzahl der Elemente weniger eins teilen.,
Population and Sample Variance and Standard Deviation Formulas
For those who like formulas, here they are:
Population Variance
Population Standard Deviation
Sample Variance
Sample Standard Deviation
Calculating Variance and Standard Deviation in Excel
In Excel, variance and standard deviation can be easily calculated using the built-in functions: VAR.P, VAR.S, STDEV.,P, und STABW.S (natürlich können Sie sie auch direkt mit den obigen Formeln berechnen, wenn Sie möchten). Sie können sehen, wie die Berechnung in der Praxis funktioniert (sowie die Berechnung der Schiefe, kurtosis und andere Maßnahmen) in der beschreibenden Statistik Excel-Rechner.