Polar Moment of inertia

Hinweis: Verschiedene Disziplinen verwenden den Begriff Trägheitsmoment, um sich auf verschiedene Momente zu beziehen., In der Physik ist das Trägheitsmoment streng genommen das zweite Massenmoment in Bezug auf die Entfernung von einer Achse, das die Winkelbeschleunigung eines Objekts aufgrund eines angelegten Drehmoments charakterisiert. Im Maschinenbau (insbesondere im Maschinenbau und im Bauwesen) bezieht sich das Trägheitsmoment häufig auf den zweiten Moment des Bereichs. Achten Sie beim Lesen des polaren Trägheitsmoments darauf, dass es sich um „polaren zweiten Moment der Fläche“ und nicht um Trägheitsmoment handelt. Das zweite Moment der Fläche hat Längeneinheiten bis zur vierten Potenz (z., m 4 {\displaystyle m^{4}} oder i n 4 {\displaystyle im^{4}} ), während Trägheitsmoment ist Masse mal Länge squared (z.B. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} oder l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}} ).

Das polare zweite Moment der Fläche (auch als „polares Trägheitsmoment“ bezeichnet) ist ein Maß für die Fähigkeit eines Objekts, der Torsion als Funktion seiner Form zu widerstehen., Es ist ein Aspekt des zweiten Momentes der Fläche, der durch den Satz der senkrechten Achse verbunden ist, wobei das planare zweite Moment der Fläche die Querschnittsform eines Strahls verwendet, um seinen Widerstand gegen Verformung (Biegung) zu beschreiben, wenn er einer Kraft ausgesetzt wird, die in einer Ebene parallel zu seiner neutralen Achse ausgeübt wird, Das polare zweite Moment der Fläche verwendet die Querschnittsform eines Strahls, um seinen Widerstand gegen Verformung (Torsion) zu beschreiben, wenn ein Moment (Drehmoment) in einer Ebene senkrecht zur neutralen Achse des Strahls angewendet wird., Während der planare zweite Moment der Fläche am häufigsten mit dem Buchstaben bezeichnet wird, I {\displaystyle I} , wird der polare zweite Moment der Fläche am häufigsten mit I z {\displaystyle I_{z}} oder dem Buchstaben J {\displaystyle J} in technischen Lehrbüchern bezeichnet.

Die berechneten Werte für das polare zweite Moment der Fläche werden am häufigsten verwendet, um den Torsionswiderstand einer festen oder hohlen zylindrischen Welle wie bei der Achse oder der Antriebswelle eines Fahrzeugs zu beschreiben., Bei Anwendung auf nicht zylindrische Träger oder Wellen werden die Berechnungen für das polare zweite Flächenmoment aufgrund von Verwerfungen der Welle/des Balkens fehlerhaft. In diesen Fällen sollte eine Torsionskonstante verwendet werden, bei der eine Korrekturkonstante zur Berechnung des Werts hinzugefügt wird.

Ein Schema, das zeigt, wie das polare zweite Moment der Fläche („Polares Trägheitsmoment“) für eine beliebige Form der Fläche R um eine Achse o berechnet wird, wobei ρ der radiale Abstand zum Element dA ist.,

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .,zweiten moment der Fläche dargestellt werden können als:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{- R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \also J=I_{x}+I_{y}}

In der Essenz, wie die Größe der polar zweite moment der Bereich erhöht (ich.,e. große Objekt Querschnittsform), wird mehr Drehmoment erforderlich sein, um eine Torsionsauslenkung des Objekts zu verursachen. Es ist jedoch anzumerken, dass dies keinen Einfluss auf die Torsionssteifigkeit hat, die einem Objekt durch seine konstituierenden Materialien zur Verfügung gestellt wird; Das polare zweite Moment der Fläche ist einfach Steifigkeit, die einem Objekt allein durch seine Form zur Verfügung gestellt wird. Torsionssteifigkeit, die durch Materialeigenschaften bereitgestellt wird, ist als Schermodul bekannt, G {\displaystyle G} ., Die Verknüpfung dieser beiden Komponenten der Steifigkeit, kann man den Winkel der Drehung eines Strahls berechnen, θ {\displaystyle \theta } , mit:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}

Wobei T {\displaystyle T} ist das angewandte Moment (Drehmoment) und l {\displaystyle l} ist die Länge des Strahls., Wie gezeigt, führen höhere Drehmomente und Strahllängen zu höheren Winkelauslenkungen, wobei höhere Werte für das polare zweite Moment der Fläche, J {\displaystyle J} und Materialschermodul, G {\displaystyle G} , das Potenzial für Winkelauslenkungen verringern.