Wesentliche Merkmale der kantorischen Mengenlehre
Bestenfalls stellt die vorstehende Beschreibung nur ein intuitives Konzept einer Menge dar. Wesentliche Merkmale des Konzepts, wie Cantor es verstanden hat, umfassen: (1) dass eine Menge eine Gruppierung in eine einzelne Entität von Objekten jeglicher Art ist und (2) dass bei einem Objekt x und einer Menge A genau eine der Anweisungen x ∊ A und x ∉ A ist wahr und die andere ist falsch. Die definitive Beziehung, die zwischen einem Objekt und einer Menge bestehen kann oder nicht, wird als Mitgliedschaftsbeziehung bezeichnet.,
Eine weitere Absicht dieser Beschreibung wird durch das sogenannte Erweiterungsprinzip vermittelt—eine Menge wird eher von ihren Mitgliedern als von einer bestimmten Art der Beschreibung der Menge bestimmt. Somit sind die Mengen A und B genau dann gleich, wenn jedes Element in A auch in B und jedes Element in B in A ist; symbolisch impliziert x ∊ A x ∊ B und umgekehrt. Es gibt zum Beispiel genau einen Satz, dessen Mitglieder 2, 3, 5 und 7 sind., Es spielt keine Rolle, ob seine Mitglieder als „Primzahlen kleiner als 10“ beschrieben oder in einer Reihenfolge (welche Reihenfolge unerheblich ist) zwischen kleinen Klammern aufgeführt werden, möglicherweise {5, 2, 7, 3}.
Die positiven Ganzzahlen {1, 2, 3, …} werden typischerweise zum Zählen der Elemente in einer endlichen Menge verwendet. Beispielsweise kann die Menge {a, b, c} eins zu eins mit den Elementen der Menge {1, 2, 3} korrespondiert werden. Die Zahl 3 wird die Kardinalzahl oder Kardinalität der Menge {1, 2, 3} sowie jede Menge genannt, die mit ihr in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz gebracht werden kann., (Da die leere Menge keine Elemente enthält, ist ihre Kardinalität als 0 definiert.) Im Allgemeinen ist eine Menge A endlich und ihre Kardinalität ist n, wenn es eine Paarung ihrer Elemente mit der Menge {1, 2, 3, …, n} gibt. Eine Menge, für die es keine solche Korrespondenz gibt, soll unendlich sein.
Um unendliche Mengen zu definieren, verwendete Cantor Prädikatformeln. Der Ausdruck „x ist ein Professor“ ist ein Beispiel für eine Formel; Wenn das Symbol x in diesem Satz durch den Namen einer Person ersetzt wird, gibt es einen deklarativen Satz, der wahr oder falsch ist. Die Notation S (x) wird verwendet, um eine solche Formel darzustellen., Der Ausdruck „x ist Professor an der Universität y und x ist männlich“ ist eine Formel mit zwei Variablen. Wenn die Vorkommen von x und y durch Namen geeigneter, spezifischer Objekte ersetzt werden, ist das Ergebnis ein deklarativer Satz, der wahr oder falsch ist. Bei jeder Formel S(x), die den Buchstaben x (und möglicherweise andere) enthält, behauptet Cantors Abstraktionsprinzip die Existenz einer Menge A, so dass für jedes Objekt x x ∊ A genau dann gilt, wenn S(x) gilt., (Mathematiker formulierten später ein eingeschränktes Prinzip der Abstraktion, auch bekannt als das Prinzip des Verstehens, in dem selbstreferenzierende Prädikate oder S(A) ausgeschlossen werden, um bestimmte Paradoxien zu verhindern. Siehe unten Kardinalität und Transfinit Zahlen.) Aufgrund des Erweiterungsprinzips muss die Menge A, die S(x) entspricht, eindeutig sein, und sie wird durch {x | S(x)} symbolisiert, das „Die Menge aller Objekte x so gelesen wird, dass S(x).“Zum Beispiel ist {x / x ist blau} die Menge aller blauen Objekte., Dies zeigt die Tatsache, dass das Prinzip der Abstraktion die Existenz von Mengen impliziert, deren Elemente alle Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft sind. Es ist eigentlich umfassender. Zum Beispiel behauptet es die Existenz einer Menge B, die „Entweder x ist ein Astronaut oder x ist eine natürliche Zahl.“Astronauten haben keine besondere Eigenschaft mit Zahlen gemeinsam (außer dass beide Mitglieder von B sind).