aan het einde van de laatste episode hadden we bewezen dat de inwendige hoeken van een driehoek altijd 180 graden optellen. Zo leek het tenminste. Op het einde daagde ik je uit om een project met een ballon uit te proberen dat je hopelijk dwong om deze conclusie in twijfel te trekken.
heb je me die uitdaging aangegaan en het project geprobeerd? Zo niet, dan is het nog niet te laat om het te proberen. En dat zou je zeker moeten doen, omdat het je zal dwingen na te denken over vragen als “hoeveel graden zijn er in een driehoek?, en kruisen parallelle lijnen elkaar ooit?”op een geheel nieuwe manier.
Waarom is dat? Het blijkt dat de geometrie die je op school leerde niet de enige soort geometrie is. En, zoals een eenvoudige ballon je kan laten zien, zijn de implicaties van deze andere vorm van geometrie nogal verrassend.
.
Ballonnen, driehoeken en hoeken
een paar maanden geleden kreeg mijn dochter haar eerste ballon op haar eerste verjaardagsfeestje. Sinds die dag zijn ballonnen het meest verbazingwekkende in haar wereld geworden., Na haar feestje, besloot ze haar ballon “ba” te noemen, en nu is vrijwel alles wat rond is ook “ba” genoemd.”Een bal? A ” ba.”De Maan? Ja, ook een ” ba.”
Waarom besloot ze dat ballonnen—en elk ander rond object-zo fascinerend zijn? Ik ben misschien bevooroordeeld in dit geloof, maar ik ben tot de conclusie gekomen dat het komt omdat ze zo goed zijn in het demonstreren van enkele verbazingwekkende eigenschappen van wat niet-Euclidische meetkunde wordt genoemd. Oké, dat is bijna zeker niet waar…maar de wiskundefan in mij wil het graag geloven.,
zoals ik de vorige keer beschreef, kunt u een glimp opvangen van een van deze eigenschappen door een eenvoudig wishs and-crafts project uit te voeren. Het enige wat je hoeft te doen is een niet-opgeblazen ballon, leg het op een vlak oppervlak, en teken zo dicht mogelijk bij een perfecte driehoek. Als je een gradenboog hebt, zou dit een goed moment zijn om de hoeken te meten en ervoor te zorgen dat ze ongeveer 1800 tellen.
blaas nu de ballon op en kijk naar je eens perfecte driehoek. Wat is ermee gebeurd? Zijn de hoeken nog steeds tot 1800?, Om te begrijpen wat je ziet, moeten we praten over de verschillen tussen wat Euclidische en niet-Euclidische meetkunde wordt genoemd.
Wat Is Euclidische meetkunde?
aangezien we het over geometrie hebben, kunnen we eerst het beste vaststellen wat we bedoelen met “geometrie.”In brede termen, meetkunde is het rijk van de wiskunde waarin we praten over dingen als punten, lijnen, hoeken, driehoeken, cirkels, vierkanten en andere vormen, evenals de eigenschappen en relaties tussen de eigenschappen van al deze dingen.
het type meetkunde dat we normaal gesproken op school leren staat bekend als Euclidische meetkunde.,
Het type meetkunde dat we meestal op school leren—en het type meetkunde waar we meestal aan denken als we aan “meetkunde”denken—staat bekend als Euclidische meetkunde. Waarom zo ‘ n goede naam? De Euclidische meetkunde dankt zijn naam aan de oude Griekse wiskundige Euclides, die meer dan 2000 jaar geleden een boek schreef genaamd de elementen, waarin hij de geometrische eigenschappen van objecten die bestaan in een vlak tweedimensionaal vlak schetste, afleidde en samenvatte. Dit is de reden waarom de Euclidische meetkunde ook bekend staat als ” vlakke meetkunde.,”
in de vlakke meetkunde tellen de binnenhoeken van driehoeken samen tot 1800, twee evenwijdige lijnen kruisen nooit en de kortste afstand tussen twee punten is altijd een rechte lijn.
Wat Is niet-Euclidische meetkunde?
maar het blijkt dat niet alles in een tweedimensionale vlakke wereld leeft en daarom is niet alles gebonden aan de wetten van de Euclidische meetkunde. Bijvoorbeeld: jij, Ik en de hele mensheid leven op het oppervlak van de aarde, en de aarde is niet plat. Het is in feite een ongeveer bolvormig object., Wat betekent dat de regels van de vlakke geometrie ons leven niet beheersen.
om te begrijpen wat dit betekent, gaan we even terug naar ballonnen. Een niet-opgeblazen ballon is een plat object, en leeft daarom binnen het gebied van de Euclidische meetkunde. In deze wereld hebben mooi getekende driehoeken 1800. Maar zodra je je ballon opblaast, is het oppervlak niet meer plat—het wordt bolvormig, en dat brengt het in het rijk van wat bekend staat als niet-Euclidische meetkunde.,
de term niet-Euclidisch klinkt erg chique, maar het betekent eigenlijk gewoon elke vorm van geometrie die niet Euclidisch is—dat wil zeggen, die niet bestaat in een platte wereld. Een niet-Euclidische meetkunde is een herdenken en herschrijven van de eigenschappen van dingen zoals punten, lijnen en andere vormen in een niet-platte wereld. De sferische meetkunde—een soort vlakke meetkunde die op het oppervlak van een bol is kromgetrokken—is een voorbeeld van een niet-Euclidische meetkunde.
niet-Euclidische meetkunde in de reële wereld
in de vlakke meetkunde hebben driehoeken 1800., In de sferische meetkunde, de inwendige hoeken van driehoeken altijd oplopen tot meer dan 1800. Je zag dit met je opgeblazen ballon, maar je kunt het ook zien door aan de aarde te denken.
in de sferische meetkunde tellen de inwendige hoeken van driehoeken altijd op tot meer dan 1800.
stel je voor dat je op de noordpool van de aarde begint en naar het zuiden loopt tot je de evenaar bereikt. Je loopt dan direct naar het oosten tot je 1/4 van de weg rond de planeet reist. Ten slotte keer je terug naar het noorden en keer je terug naar de Noordpool., Als je erover nadenkt, zie je dat het pad dat je hebt afgelegd een driehoek is op het bolvormige oppervlak van de aarde. En het gekke is dat alle drie de hoeken van deze” driehoek ” rechte hoeken zijn—dus de inwendige hoeken tellen op tot 90 x 3 = 2700.
Hier is nog een gek ding: het paar lijnen dat de twee zijden van de driehoek voorstelt die de noord-zuid—benen van je reis markeren, zijn “parallel” aan elkaar-in de zin dat ze beide in de noord-zuid-richting lopen. Maar ze kruisen elkaar op de Noordpool! En de Zuidpool!, Dus ook al gaan ze in dezelfde richting, ze zijn niet parallel zoals de nooit kruisende parallelle lijnen van de vlakke geometrie.
en voor het geval dat dat niet genoeg is om je te laten denken dat niet-Euclidische meetkunde vol verrassingen zit, hier is er nog een. In een bekende zaak van ” Huh? Hoe is dat mogelijk?”het blijkt dat de kortste weg om van Florida naar de Filippijnen te vliegen (die, let wel, op een meer zuidelijke breedtegraad ligt dan Florida) is om over Alaska te vliegen! Hoe is dat mogelijk? Ik laat je daar over nadenken…maar kom de volgende keer terug voor het antwoord.,
Wrap Up
OK, dat is alle wiskunde die we vandaag hebben.
controleer mijn boek, The Math Dude ‘ s Quick and Dirty Guide to Algebra. En vergeet niet om een fan van de wiskunde Dude op Facebook, waar je veel geweldige wiskunde gepost door de week. Als je op Twitter bent, volg mij dan ook.
tot de volgende keer, Dit is Jason Marshall met de snelle en vuile Tips van de wiskunde Dude om wiskunde gemakkelijker te maken. Bedankt voor het lezen, wiskunde fans!
Bol figuur met dank aan .