essentiële kenmerken van de Cantoriaanse verzamelingenleer
in het gunstigste geval presenteert de voorgaande beschrijving slechts een intuïtief concept van een verzameling. Essentiële kenmerken van het concept zoals Cantor het begreep zijn: (1) dat een verzameling een groepering is in een enkele entiteit van objecten van welke aard dan ook, en (2) dat, gegeven een object x en een verzameling A, precies één van de verklaringen x ∊ A en x ∉ A waar is en de andere onwaar is. De definitieve relatie die al dan niet bestaat tussen een object en een verzameling wordt de lidmaatschapsrelatie genoemd.,
een andere bedoeling van deze beschrijving wordt overgebracht door wat het principe van uitbreiding wordt genoemd—een verzameling wordt bepaald door haar leden in plaats van door een bepaalde manier om de verzameling te beschrijven. Dus, verzamelingen A en B zijn gelijk dan en slechts dan als elk element in A ook in B is en elk element in B in A; symbolisch, x ∊ a impliceert x ∊ B en vice versa. Er bestaat bijvoorbeeld precies één verzameling waarvan de leden 2, 3, 5 en 7 zijn., Het maakt niet uit of haar leden worden beschreven als “priemgetallen kleiner dan 10” of in een bepaalde volgorde (welke volgorde niet van belang is) tussen kleine accolades, eventueel {5, 2, 7, 3}.
de positieve gehele getallen {1, 2, 3,…} worden meestal gebruikt voor het tellen van de elementen in een eindige verzameling. Bijvoorbeeld, de verzameling {a, b, c} kan in één-op-één correspondentie worden geplaatst met de elementen van de verzameling {1, 2, 3}. Het getal 3 wordt het kardinaalgetal of kardinaliteit van de verzameling {1, 2, 3} genoemd, evenals elke verzameling die daarmee in een één-op-één correspondentie kan worden geplaatst., (Omdat de lege verzameling geen elementen heeft, wordt de kardinaliteit gedefinieerd als 0. In het algemeen is een verzameling A eindig en haar kardinaliteit is n als er een koppeling bestaat van haar elementen met de verzameling {1, 2, 3, …, n}. Een verzameling waarvoor dergelijke correspondentie niet bestaat, wordt als oneindig beschouwd.
om oneindige verzamelingen te definiëren, gebruikte Cantor predicaatformules. De zin “x is een professor” is een voorbeeld van een formule; als het symbool x in deze zin wordt vervangen door de naam van een persoon, resulteert er een declaratieve zin die waar of onwaar is. De notatie S (x) wordt gebruikt om een dergelijke formule weer te geven., De uitdrukking “x is een professor aan de universiteit y en x is een man” is een formule met twee variabelen. Als de occurrences van x en y worden vervangen door namen van toepasselijke, specifieke objecten, is het resultaat een declaratieve zin die waar of onwaar is. Gegeven elke formule S(x) die de letter x (en mogelijk andere) bevat, stelt Cantor ‘ s abstractieprincipe het bestaan van een verzameling A zodanig vast dat, Voor elk object x, x ∊ A dan en slechts dan als S(x) geldt., (Wiskundigen formuleerden later een beperkt principe van abstractie, ook bekend als het principe van begrip, waarin zelfreferentiepredikaten, of S(A), worden uitgesloten om bepaalde paradoxen te voorkomen. Zie hieronder kardinaliteit en transfiniet getallen.) Vanwege het uitbreidingsprincipe moet de verzameling A die overeenkomt met S(x) uniek zijn, en het wordt gesymboliseerd door {x | S(x)}, die wordt gelezen “de verzameling van alle objecten x zodanig dat S(x).”Bijvoorbeeld, {x / x is blauw} is de verzameling van alle blauwe objecten., Dit illustreert het feit dat het abstractiebeginsel het bestaan impliceert van Verzamelingen waarvan de elementen allemaal objecten zijn die een bepaalde eigenschap hebben. Het is eigenlijk uitgebreider. Bijvoorbeeld, het beweert het bestaan van een verzameling B die overeenkomt met “of x is een astronaut of x is een natuurlijk getal.”Astronauten hebben geen specifieke eigenschap gemeen met getallen (behalve dat ze beiden lid zijn van B).