Ik zal u nu mijn voorkeur geven voor het vinden van een inverse van een 3 bij 3 matrix. En ik denk eigenlijk dat het veel leuker is. En je hebt minder kans om onvoorzichtige fouten te maken. Maar als ik me goed herinner vanalgebra 2, leerden ze het deze weg niet in Algebra 2. Daarom heb ik in het begin de andere weg geleerd. Maar laten we dit doornemen. In een toekomstige video zal ik je vertellen waarom het werkt. Want dat is altijd belangrijk., Maar in de lineaire algebra is dit een van de weinige onderwerpen waar ik denk dat het heel belangrijk is om eerst de operaties uit te voeren. En later zullen we het waarom leren. Omdat het hoe erg mechanisch is. En het is eigenlijk alleen maar een beetje basis rekenkunde voor het grootste deel. Maar het waarom is nogal diep. Dus laat ik dat achter op latere video ‘ s. En je kunt vaak denken over de diepte van dingen als je er vertrouwen in hebt dat je tenminste het hoes begrijpt. Hoe dan ook, laten we teruggaan naar onze oorspronkelijke matrix. En wat was die originele Matrix die ik deed in de vorige video? Het was 1, 0, 1, 0,2, 1, 1, 1, 1., En we wilden hetinverse van deze matrix vinden. Dus dit is wat we gaan doen. Het heet Gauss-Jordaneliminatie, om de inverse van de matrix te vinden. En de manier waarop je het doet– en het lijkt misschien een beetje op magie, het lijkt misschien een beetje op voodoo, maar ik denk dat je in toekomstige video ‘ s zult zien dat het veel zin heeft. Wat we doen is deze matrix vergroten. Wat betekent augment? Het betekent dat we er iets aan toevoegen. Dus trek ik een scheidslijn. Sommige mensen niet, dus als ik hier een scheidingslijn zet. En wat zet ik aan de andere kant van de scheidslijn?, Ik heb de identiteitsmatrixvan dezelfde grootte gezet. Dit is 3 bij 3, dus ik zet a3 bij 3 identiteitsmatrix. Dus dat is 1, 0, 0,0, 1, 0, 0, 0, 1. Oké, wat gaan we doen? Wat ik ga doen is een serie elementaire rij operaties uitvoeren. Ik ga jullie vertellen wat geldige elementaire rijbewerkingen zijn op deze matrix. Maar wat ik ook doe met deze rijen hier, Ik moet het doen met de corresponderende rijen hier. Mijn doel is om een aantal operaties aan de linkerkant te doen., En natuurlijk zullen dezelfde operaties worden toegepast aan de rechterkant, zodat Ieventueel de identiteitsmatrix aan de linkerkant krijgt. En als ik dan de identiteitsmatrix aan de linkerkant heb, zal wat ik links heb aan de rechterkant de inverse zijn van deze oorspronkelijke matrix. Als dit een identiteitsmatrix wordt, wordt dat reducedrow echelon-vorm genoemd. Daar zal ik het nog over hebben. Er zijn veel namen en labels in de lineaire algebra. Maar het zijn eigenlijk gewoon eenvoudige concepten. Maar goed, laten we beginnen en dit moet een beetje duidelijk worden., Het proces zal tenminste duidelijk worden. Misschien niet waarom het werkt. Allereerst zei ik dat ik hier een aantal operaties ga uitvoeren. Wat zijn legitieme operaties? Ze heten elementaryrow operations. Dus er is een paar dingen die ik kan doen. Ik kan elke rij vervangen met die rij vermenigvuldigd met een getal. Zodat ik dat kon doen. Ik kan twee rijen wisselen. En natuurlijk als Ik zeg de eerste en tweede rij ruil, moet ik het hier ook doen. En ik kan één van een andere rij optellen of aftrekken. Dus als ik dat doe — bijvoorbeeld, kan ik deze rij nemen en vervangen door deze rij toegevoegd aan deze rij., En je zult zien wat Imean in de tweede. En weet je,als je het combineert, zou je kunnen zeggen, Nou, ik ga deze rij meerdere keer -1, en voeg het toe aan deze rij, en vervang deze rij met dat. Dus als je het gevoel begint te krijgen dat dit iets is wat je leerde toen je oplossingssystemen van lineaire vergelijkingen leerde, is dat geen toeval. Omdat matrices eigenlijk een heel goede manier zijn om dat te representeren, en dat zal ik je snel laten zien. Maar hoe dan ook, laten we wat elementaire rijbewerkingen doen om deze linkerkant te krijgen in de verlichte rij echelon vorm., Wat eigenlijk gewoon een mooie manier is om te zeggen, Laten we het omzetten in de identiteitsmatrix. Laten we eens kijken wat we willen doen. We willen 1 ‘ s all hier hebben. Laten we eens kijken hoe we dit efficiënt kunnen doen. Laat me de matrix opnieuw tekenen. Dus laten we hier een 0 krijgen. Dat zou handig zijn. Dus ik ga de bovenste twee rijen hetzelfde houden. 1, 0, 1. Ik heb mijn scheidslijn. 1, 0, 0. Ik heb daar niets gedaan. Ik doe niets op de tweede rij. 0, 2, 1. 0, 1, 0. En wat ik ga doen, Ik ga deze rij vervangen– en zodat je mijn motief Weet, mijn doel is om hier een 0 te krijgen., Dus ik ben een beetje dichter bij het hebben van de identiteit matrix hier. Dus hoe krijg ik hier een 0? Ik kan deze rij vervangen door deze rij min deze rij. Dus ik kan de derde rij vervangen door de derde rij min de eerste rij. Dus wat is de derde rijminus de eerste rij? 1 min 1 is 0. 1 min 0 is 1. 1 min 1 is 0. Ik deed het aan de linkerkant, dus ik moet het aan de rechterkant doen. Ik moet dit vervangen door dit Min dit. Dus 0 min 1 is min 1. 0 min 0 is 0. En 1 min 0 is 1. Eerlijk genoeg. Wat kan ik nu doen?, Deze rij Hier, deze derde rij, heeft 0 en 0 — Het lijkt veel op wat ik wil voor mijn tweede rij in de identiteitsmatrix. Dus waarom ruil ik niet gewoon deze twee rijen? Zal ik de eerste en tweede rij verwisselen? Dus laten we dat doen. Ik ga de eerste en tweede rij verwisselen. Dus de eerste rij blijft hetzelfde. 1, 0, 1. En dan blijft de andere kant hetzelfde. En ik ruil de tweede en derde rij. Dus nu is mijn tweede rij nu 0, 1, 0. En ik moet het aan de rechterkant verwisselen. Dus het is min 1, 0, 1. Ik ruil deze twee om., Dus dan wordt mijn derde rij nu wat de tweede rij Hier was. 0, 2, 1. En 0, 1, 0. Eerlijk genoeg. Wat wil ik nu doen? Het zou leuk zijn als ik hier een 0 had. Dat zou me veel dichter bij de identiteitsmatrix brengen. Dus hoe kan ik hier als 0 krijgen? Nou wat als ik 2 keer rij twee van rij één afgetrokken? Want dit zou zijn,1 keer 2 is 2. En als ik dat hiervan aftrek, krijg ik hier een 0. Dus laten we dat doen. Dus de eerste rij heeft veel geluk gehad. Het heeft niets hoeven doen. Het staat daar maar. 1, 0, 1, 1, 0, 0. En de tweede rij verandert voorlopig niet. Min 1, 0, 1., Wat zei ik dat ik ging doen? Ik trek 2 keerrow 2 af van rij 3. Dus dit is 0 minus2 keer 0 is 0. 2 min 2 keer 1, dat is 0. 1 min 2 keer 0 is 1. 0 min 2 keer min 1 is — dus laten we onthouden 0 min 2 keer min 1. Dus dat is 0 min negatief2, dus dat is positief 2. 1 min 2 keer 0. Dat is nog steeds 1. 0 min 2 keer 1. Dus dat is min 2. Heb ik dat goed gedaan? Ik wil het gewoon zeker weten. 0 min 2 keer — rechts, 2 keer min 1 is min 2. En ik trek het af, dus het is plus. Oké, ik ben dichtbij., Dit lijkt bijna op de Identity matrix of gereduceerde rij echelon vorm. Behalve deze 1 hier. Dus moet ik eindelijk de bovenste rij aanraken. En wat kan ik doen? wat dacht je ervan als ik de toprow vervang door de bovenste rij min de onderste rij? Want als ik dit hiervan aftrek, dan krijgt dit hier een 0. Dus laten we dat doen. Dus vervang ik de toprow door de bovenste rij min de derde rij. Dus 1 min 0 is 1. 0 min 0 is 0. 1 min 1 is 0. Dat was ons hele doel. En dan 1 min 2is min 1. 0 min 1 is min 1. 0 min min 2. dat is positief 2., En dan blijven de andere rijen hetzelfde. 0, 1, 0, min 1, 0, 1. En dan 0, 0, 1, 2,1, min 2. En daar heb je het. We hebben een reeks operaties uitgevoerd aan de linkerkant. En we hebben dezelfde operaties uitgevoerd aan de rechterkant. Dit werd de identitymatrix, of gereduceerde rij echelon vorm. En we deden dit met Gauss-Jordan eliminatie. En wat is dit? Dit is de inverse van deze originele matrix. Dit keer zal dit gelijk zijn aan de identiteitsmatrix. Dus als dit a is, dan is dit een inverse. En dat is alles wat je moet doen., Zoals je kon zien, kostte dit me de helft van de tijd, en kostte het veel minder zware wiskunde dan toen ik het deed met behulp van de adjoint en de cofactoren en de determinant. En als je erover nadenkt, geef ik je een hint waarom dit werkte. Elke operatie die ik aan de linkerkant deed, je zou ze kunnen zien als multiplying — Weet je,om van hier naar hier te komen, vermenigvuldigde ik. Je kunt zeggen dat er een matrix is. Dat als ik vermenigvuldigde met die Matrix, Het deze operatie zou hebben uitgevoerd. En dan had ik tomultiply door een andere matrix gehad om deze operatie uit te voeren., Dus in wezen hebben we vermenigvuldigd met een reeks matrices om hier te komen. En als je al die vermenigvuldigt, wat we eliminatiematrices noemen, samen, vermenigvuldig je in wezen deze tijd de inverse. Dus wat zeg ik? Dus als we a hebben, om van hier naar hier te gaan, moeten we a vermenigvuldigen met de eliminatiematrix. En dit kan volledig verwarrend voor je zijn, dus negeer het als het is, maar het kan inzichtelijk zijn. Dus wat hebben we hier in geëlimineerd? We hebben 3, 1 uitgeschakeld. We vermenigvuldigden met de eliminatiematrix 3, 1, om hier te komen. En dan, om van hier naar hier te gaan, hebben we vermenigvuldigd met een matrix., En Ik zal je meer vertellen. Ik zal je laten zien hoe we deze eliminatiematrices kunnen construeren. We vermenigvuldigen met een eliminatiematrix. Nou eigenlijk hadden we hier een Rij verwisseld. Ik weet niet hoe je dat wilt noemen. Je zou dat de swap matrix kunnen noemen. We ruilden rij twee voor drie. En hier vermenigvuldigen we met eliminatiematrix — wat hebben we gedaan? We hebben dit geëlimineerd, Sothis was rij drie, kolom twee, 3, 2. En tenslotte,om hier te komen, moesten we vermenigvuldigen met eliminatiematrix. We moesten dit hier elimineren. Dus we elimineerden rowone, kolom drie., En Ik wil dat je nu weet dat het niet belangrijk is wat deze matrices zijn. Ik zal je laten zien hoe we deze matrices kunnen construeren. Maar Ik wil dat je een soort van vertrouwen hebt dat elk van deze operaties gedaan had kunnen worden door te vermenigvuldigen met een matrix. Maar wat we wel weten is dat door het multiplyen van al deze matrices, we in wezen de identiteitsmatrix hebben. Hierachter. Dus de combinatie van al deze matrices, als je ze met elkaar vermenigvuldigt, moet dit de inverse matrix zijn. Als ik elk van deze eliminatie-en rijwisselmatrices zou vermenigvuldigen, moet dit de omgekeerde matrix van a zijn., Want als je ze vermenigvuldigt met a, krijg je de inverse. Wat is er dan gebeurd? Als deze matrices gezamenlijk de inverse matrix zijn, als ik ze doe, als Imultiply de identiteit matrix maal ze — de eliminatiematrix, deze keer dat is gelijk aan dat. Deze keer dat is hetzelfde. Deze keer dat is hetzelfde. En zo voort. Ik vermenigvuldig — als je al deze combineert– een omgekeerde tijdde identiteitsmatrix. Dus als je erover nadenkt– en Ik wil je niet in de war brengen. Het is goed genoeg als je begrijpt wat ik heb gedaan., Maar wat ik doe vanuit al deze stappen, vermenigvuldig ik in wezen beide zijden van deze matrix, je zou het kunnen noemen, met een inverse. Dus ik vermenigvuldigde dit met ainverse, om bij de identiteitsmatrix te komen. Maar natuurlijk, als ik de inverse matrix vermenigvuldig met de identiteit matrix, krijg ik de inverse matrix. Maar goed, Ik wil je niet in de war brengen. Hopelijk geeft dat je een beetje intuïtie. Ik zal dit later doen met een aantal meer concrete voorbeelden., Maar hopelijk zie je dat dit een stuk minder Harig is dan de manier waarop we het deden met de joint en de cofactoren en de kleine matrices en de determinanten, enzovoort. Hoe dan ook, ik zie je in de volgende video.