de PEMDAS Paradox

Het lijkt triviaal, maar het blijft viraal. Welk antwoord krijg je als je berekent? Deze vraag heeft alle uithoeken van de sociale media bereikt en heeft miljoenen mensen laten antwoorden met twee gemeenschappelijke antwoorden: en .

je zou kunnen denken dat de ene helft van die mensen gelijk heeft en de andere helft moet hun rekenkunde controleren. Maar het gaat nooit zo: respondenten aan beide zijden verdedigen hun antwoorden met vertrouwen., Er zijn geen formele wiskundige publicaties over het probleem, maar een groeiend aantal wiskundigen kan uitleggen wat er aan de hand is: is geen goed gedefinieerde uitdrukking.

goed gedefinieerd is een belangrijke term in wiskunde. Het betekent in wezen dat een bepaalde input altijd dezelfde output oplevert. Alle wiskundeleraren zijn het erover eens dat , en dat . De extra haakjes (haakjes) verwijderen de dubbelzinnigheid en die uitdrukkingen zijn goed gedefinieerd., De meeste andere virale wiskundige problemen, zoals (zie hier), zijn goed gedefinieerd, met één correct antwoord en één (of meer) vaak voorkomende foutieve antwoord(en). Maar het berekenen van de waarde van de expressie is een kwestie van conventie. Geen van beide antwoorden, noch , is onjuist; Het hangt af van wat je geleerd hebt van je wiskundeleraar.,

De volgorde waarin rekenkundige bewerkingen is gegeven door de variousmnemonics PEMDAS, BODMAS, BIDMAS en BEDMAS:

• P (of B): bereken eerst de waarde van expressies in een van de haakjes (beugels);
• E (of O of I): naast het berekenen van een exponenten (orders/indices);
• MD (of DM): naast het verrichten van vermenigvuldigen en delen, werken van links naar rechts;
• ALS: en tot slot het verrichten van optellen en aftrekken, het werken van links naar rechts.,

twee enigszins verschillende interpretaties van PEMDAS (of BODMA ‘ s, enz.) zijn onderwezen over de hele wereld, en de PEMDAS Paradox benadrukt hun verschil. Beide zijden zijn aanzienlijk populair en er is momenteel geen standaard voor de conventie worldwide.So je kunt die Twitterdiscussie stoppen en er zeker van zijn dat ieder van jullie zich misschien correct herinnert wat je werd onderwezen – het is gewoon dat je anders werd onderwezen.,

de twee zijden

Mechanisch hebben de mensen aan de “9” kant – zoals in de meest populaire YouTube video over deze vraag – de neiging om te berekenen, of misschien schrijven ze het als. Mensen aan deze kant hebben de neiging te zeggen dat op elk moment vervangen kan worden door . De leer dat “ altijd uitwisselbaar is met “bepaalt het antwoord van de PEMDAS Paradox op .,

aan de” 1 “kant berekenen sommige mensen , terwijl anderen wijzen op de distributieve eigenschap, . Het drijvende principe aan deze kant is dat impliciete vermenigvuldiging via juxtapositie voorrang heeft. Dit is onderwezen in wiskunde klaslokalen over de hele wereld en is ook een verklaarde conventie in sommige programmeercontexten. Dus hier, de leer dat “ is altijd uitwisselbaar met ” bepaalt het PEMDAS Paradox antwoord te zijn .,

wiskundig gezien is het inconsistent om tegelijkertijd te geloven dat uitwisselbaar is met en ook dat uitwisselbaar is met . Hieruit volgt dat via de argumenten in de voorgaande paragrafen. Tot die tegenstrijdigheid komen is logisch, gewoon illustreren dat we niet beide antwoorden kunnen hebben. Het belicht ook het feit dat geen van deze interpretaties inherent zijn aan PEMDAS., Beide zijn subtiele extra regels die beslissen wat te doen met syntaxis eigenaardigheden zoals , en dus, het accepteren van geen van beide geeft de formele wiskundige conclusie dat niet goed gedefinieerd is. Dit is ook de reden waarom je elkaar niet op een bevredigende manier kunt “corrigeren”: je methoden zijn logischerwijs onverenigbaar.

dus het meningsverschil komt tot dit: voelt het alsof altijd uitwisselbaar moet zijn met ?, Of voelt het alsof altijd uitwisselbaar moet zijn met ? Je kunt niet beide zeggen.

in de praktijk reageren veel wiskundigen en wetenschappers op het probleem door te zeggen” onduidelijke syntaxis, heeft meer haakjes nodig”, en verklaren waarom het dubbelzinnig is, wat essentieel het juiste antwoord is. Een beruchte afbeelding toont twee verschillende Casio rekenmachines naast elkaar en geeft de input en toont de twee verschillende antwoorden., Hoewel “syntaxisfout” misschien wel het beste antwoord zou zijn dat een rekenmachine zou moeten geven voor dit probleem, is het niet verwonderlijk dat ze proberen de ambiguïteit te verzoenen, en dat is ok. Maar voor ons mensen, na het opmerken van beide conventies worden gevolgd door grote stukken van de wereld, moeten we concluderen dat momenteel niet goed gedefinieerd is.

ondersteuning voor beide zijden

Het is een feit dat Google, Wolfram en vele zakrekenmachines het antwoord geven van 9.De antwoorden van rekenmachines worden hier natuurlijk bepaald door hun invoermethoden., Rekenmachines zijn duidelijk niet de beste juryleden voor de PEMDAS Paradox. Ze weerspiegelen het huidige meningsverschil over het probleem: rekenmachineprogrammeurs zijn zich grotendeels bewust van dit probleem en weten al dat het niet wereldwijd gestandaardiseerd is, dus als wiskundeleraren allunified op een antwoord, dan zouden die programmeurs volgen.

overweeg Wolfram Alpha, de website die een antwoordmotor biedt (zoals een zoekmachine, maar in plaats van links naar webpagina ‘ s te bieden, geeft het antwoorden op queries, in het bijzonder wiskundige queries)., Het interpreteert als , interpreteert als ,en interpreteert als de lijn door de oorsprong met helling een derde. Alle drie zijn in programmeerzin consistent met elkaar, maar de laatste twee voelen voor veel waarnemers vreemd aan. Meestal als iemand jot, dan bedoelen ze , en als ze bedoelden te zeggen, dan zouden ze geschreven hebben.,

invoer in Wolfram Alpha en het levert de sinusoïde , in plaats van de lijn door de oorsprong met helling . Dit voorbeeld wijkt af van de vorige voorbeelden met betrekking tot de regel “ is uitwisselbaar met “, ten gunste van het beter vastleggen van de voor de hand liggende bedoeling van de invoer. Wolfram is gewoon een algoritme zwak proberen te achterhalen van de Betekenis van zijn zintuiglijke input., Net als onze hersenen. Hoe dan ook, de invoer van wordt geïnterpreteerd als “six over cubed”, dus Wolfram is duidelijk niet de autoriteit voor het corrigeren van lelijke syntaxis.

Op de ” 1 ” kant, een recente uitstekende video van Jenni Gorham, een wiskundeleraar met een graad in de fysica, legt een aantal real-world voorbeelden die deze interpretatie ondersteunen. Zij wijst op talrijke gelegenheden waarin wetenschappers schrijven om te betekenen . Je zult hier veel voorbeelden van vinden in scheikunde,natuurkunde en wiskundeboeken. Ms, Gorham en ik hebben gereageerd op de Paradox van de Pemda ’s en zij onderschrijft formeel dat het probleem niet goed gedefinieerd is, maar wijst ook op de noodzaak van een consensusconventie terwille van berekeningsprogramma’ s. Zij stelt dat het consensusantwoord 1 zou moeten zijn, aangezien de precedentvan impliciete vermenigvuldiging door juxtapositie in deze formele contexten in het grootste deel van de wereld de conventie is geweest.

het grote plaatje

Er moet op worden gewezen dat conventies niet hoeven te worden verenigd., Als twee van mijn studenten argumenteerden over de vraag of het minst natuurlijke getal 0 of 1 is, zou ik geen van beide verkeerd noemen, noch zou ik problemen hebben met het gebrek aan wereldwijde consensus over de zaak. Wolfram weet dat de overeenkomst verdeeld is tussen twee antwoorden, en het leven gaat door. Als iedereen die er om geeft gewoon leert dat de PEMDAS Paradox ook twee populaire antwoorden heeft (en dus zelf geen welomschreven mathenvraag is), dan zou dat bevredigend moeten zijn.

hopelijk, na het lezen van dit artikel, is het bevredigend om te begrijpen hoe een probleem dat er zo basisch uitziet uniek is gebleven., In het echte leven moet je meer haakjes gebruiken en dubbelzinnigheid vermijden. Hopelijk is het niet al te verontrustend dat wiskundeleraren over de hele wereld op deze conventie worden gesplitst, want dat is niet erg zeldzaam en niet echt problematisch, behalve voor rekenmachineprogrammeurs.

voor lezers die niet volledig tevreden zijn met de diepte van dit artikel, zal mijn vorige veel langer papier misschien niet teleurstellen., Het gaat verder in detail en rechtvaardigt de formaliteiten van de logischeconsistentie van de twee methoden, evenals de geschiedenis van het probleem en mijn ervaring met het.

over de auteur

David Linkletter werkt aan een doctoraat in de zuivere wiskunde aan de Universiteit van Nevada, Las Vegas, in de VS. Zijn onderzoek is in de verzamelingenleer-grote kardinalen. Hij geeft ook undergraduate lessen aan UNLV; zijn favoriete les om te onderwijzen is Discrete wiskunde.