Boundless Algebra

binomiale expansies en de driehoek van Pascal

de binomiale stelling, die de driehoeken van Pascal gebruikt om coëfficiënten te bepalen, beschrijft de algebraïsche expansie van machten van een binomiaal.,

Binomiale stelling

de binomiale stelling is een algebraïsche methode om een binomiale expressie uit te breiden. In wezen laat het zien wat er gebeurt als je een binomiaal op zichzelf vermenigvuldigt (zo vaak als je wilt). Denk bijvoorbeeld aan de uitdrukking (4x + y)^7. Het zou heel lang duren om de binomiale (4x+y) zeven keer te vermenigvuldigen., De binomiale stelling biedt een kortere weg, of een formule die de uitgebreide vorm van deze uitdrukking oplevert.

denk bijvoorbeeld aan de volgende uitbreiding:

\displaystyle {(X+y)}^{4}={x}^{4}+4{x}^{3}{y}+6{x}^{2}{y}^{2}+4x{y}^{3}+{y}^{4}

volgens de binomiale stelling is het mogelijk om elke macht van x + y uit te breiden tot een som van de vorm:

waarbij elke waarde \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} een specifiek positief geheel getal is dat binomiale coëfficiënt wordt genoemd. Deze formule wordt aangeduid als de binomiale formule., Met behulp van som-notatie, kan geschreven worden als:

\displaystyle { (x+y) }^{ n }=\som _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ n-k)} { y }^{ k }=\som _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ k -} { y }^{ n-k }

Een aanzienlijke hoeveelheid tijd kan worden verplicht om het binomium van newton en het uitvoeren van alle berekeningen in de bovenstaande formule, met name voor hoge waarden van n. Daarom, wat volgt is een snelkoppeling voor het vinden van de binomiale uitbreidingen met behulp van een visueel hulpmiddel.,

de driehoek van Pascal

De Driehoek van Pascal is een alternatieve manier om de coëfficiënten te bepalen die ontstaan in binomiale expansies, met behulp van een diagram in plaats van algebraïsche methoden. Voor een binomiale expansie met een relatief kleine exponent, kan dit een eenvoudige manier zijn om de coëfficiënten te bepalen.

in het diagram hieronder, merk op dat elk getal in de driehoek de som is van de twee direct erboven. Dit patroon gaat oneindig door.,

de rijen van de driehoek van Pascal zijn genummerd, beginnend met rij N = 0 bovenaan. De vermeldingen in elke rij zijn van links genummerd, beginnend met k = 0 en zijn meestal Gespreid ten opzichte van de getallen in de aangrenzende rijen. Een eenvoudige constructie van de driehoek verloopt op de volgende manier. Schrijf op rij 0 alleen het nummer 1. Voeg vervolgens de twee bovenstaande getallen toe om de nieuwe waarde te vinden om de elementen van de volgende rijen te construeren., Als een van de bovenstaande getallen niet aanwezig is, vervang dan een nul. Elk nummer in rij 1 is bijvoorbeeld 0 + 1 = 1.,

om Te begrijpen hoe dit patroon geldt voor de binomiale formule, rekening houden met de uitbreiding:

\displaystyle {(x + y)}^{2} = {x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 1{x}^{2}{y}^{0} + 2{x}^{1}{y}^{1} + 1{x}^{0}{y}^{2}

\displaystyle {(x + y)}^{n} = {a}_{0}{x}^{n} + {a}_{1}{x}^{n-1}y +{a}_{2}{x}^{n-2} {y}^{2} + \cdot\cdot\cdot {a}_{n-1}{x}{y}^{n-1} + {a}_{n}{y}^{n}

Merk op dat de gehele diagonaal rechts van Pascal ‘ s driehoek komt overeen met de coëfficiënt van y^n in deze binomiale uitbreidingen, terwijl de volgende diagonale komt overeen met de coëfficiënt van xy^{n−1} en dus op.,

voorbeeld: Zoek de expansie van (x+y)^5 met behulp van Pascal ’s driehoek

merk op dat n=5, en bedenk dat dit zou overeenkomen met rij 5 van Pascal’ s driehoek.

\displaystyle {(x + y)}^{5} = {a}_{0}{x}^{5} + {a}_{1}{x}^{4}y +{a}_{2}{x}^{3} {y}^{2} + {a}_{3}{x}^2{y}^{3} + {a}_{4}{x}{y}^{4}+{a}_{5}{y}^{5}

\displaystyle {(x + y)}^{5} = {x}^{5} + 5{x}^{4}{y} + 10{x}^{3}{y}^{2} + 10{x}^{2}y^{3} + 5{x}{y}^{4} + {y}^{5}

Binomiale Uitbreiding en de Faculteit Notatie

Het binomium van newton beschrijft de algebraïsche uitbreiding van de bevoegdheden van een binomiale verdeling.,

bedenk dat de binomiale stelling een algebraïsche methode is om een binomiaal uit te breiden die is verhoogd tot een bepaalde macht, zoals (4x+y)^7., De stelling wordt gegeven door de formule:

\displaystyle { (x+y) }^{ n }=\som _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ n-k)} { y }^{ k }=\som _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ k -} { y }^{ n-k }

De coëfficiënt van de term x^{n−k)} y^k in een binomiale uitbreiding kan worden berekend met behulp van de combinatie formule. Bedenk dat de combinatieformule het aantal manieren vertegenwoordigt om K-objecten uit n te kiezen, waarbij de volgorde er niet toe doet. De formule bestaat uit factoren:

\displaystyle \begin{pmatrix} n \ \ k \ end{pmatrix} = \ frac { n!, { k!(n-k)! }

voorbeeld: gebruik de binomiale formule om de expansie van (x+y)^4

te vinden Begin door N=4 te vervangen in de binomiale formule:

\displaystyle (x+y)^4=\sum _{ k=0 }^{ 4 }{ \begin{pmatrix} 4 \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ 4-k }{ y }^{ k}

om dit op te lossen, moeten we de som voor alle waarden van K uitbreiden.

nu moeten we elk van de resterende combinaties evalueren:

\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac { 4! }{ 1!(4-1)! } = \ frac { 4! }{ 1!3! } = 4

\displaystyle \ begin{pmatrix} 4 \ \ 2 \ end{pmatrix} = \ frac { 4!, }{ 2!(4-2)! } = \ frac { 4! }{ 2!2! } = 6

\displaystyle \ begin{pmatrix} 4 \ \ 3 \ end{pmatrix} = \ frac { 4! }{ 3!(4-3)! } = \ frac { 4! }{ 3!1! } = 4

het Vervangen van deze integers in de uitbreiding, we hebben:

\displaystyle (x+y)^4 = { x }^{ 4} + 4 { x }^{ 3}{ y } + 6 { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } + 4 { x }{ y }^{ 3 } + { y }^{ 4 }

het Vinden van een Specifieke Term

de r-De termijn van de binomiale uitbreiding kan worden gevonden met de vergelijking: { \begin{pmatrix} n \\ r-1 \end{pmatrix} }{ a }^{ n-(r-1) }{ b }^{ r-1 }.,

leerdoelen

Oefen het vinden van een specifieke term van een binomiale expansie

Key afhaalpunten

Key points

Key Terms

• integer: een element van de oneindige en numerieke verzameling \left \{ \cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \cdots \right \}.

laten we een paar uitbreidingen van binomials doornemen, om eventuele patronen die aanwezig zijn in de termen te overwegen.,

\displaystyle {(a+b)}^{1}=a+b

\displaystyle {(a+b)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}

\displaystyle {(a+b)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^3

\displaystyle {(a+b)}^{4}={a}^{4}+4{a}^{3}b+6{a}^{2}{b}^{2}+4a{b}^{3}+{b}^4

Een paar dingen opgevallen:

Als de uitbreiding is kort, zoals:

\displaystyle \begin{align} {(x+2)}^{3}&={x}^{3}+2{x}^{2}{2}^{1}+2{x}^{1}{2}^{2}+{2}^{3}\\ &={x}^{3}+4{x}^{2}+8{x}+8 \end{align}

Dan is het eenvoudig om te zoeken naar een bepaalde term., Dit wordt moeilijk en tijdrovend wanneer de uitbreiding groot is. Er is, gelukkig, een kortere weg voor het identificeren van bepaalde termen van langere uitbreidingen. De volgende formule levert de rde term in de expansie op:

\displaystyle { \begin{pmatrix} n \\ r-1 \end{pmatrix} }{ a }^{ n-(r-1) }{ b }^{ r-1 }

bedenk dat de combinatieformule een manier biedt om \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} te berekenen:

\displaystyle {\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{n!{(n-k)!k!, }}

Voorbeeld: Zoek de vijfde termijn van {(3x-4)}^{12}

\displaystyle { \begin{pmatrix} 12 \\ 5-1 \end{pmatrix} }{ (3x) }^{ 12-(5-1) }{ (-4) }^{ 5-1 }

\displaystyle { \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} }{ (3x)}^{ 8 }{ (-4) }^{ 4 }

Vergeet niet om te evalueren \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} met behulp van de combinatie formule:

\displaystyle \begin{align} \frac{n!{(n-k)!k! }&= \ frac{12!}{(12-4)!4!, }\\ &=495 \end{align}

Invalbeurt in \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}=495 in de formule krijgen we:

\displaystyle 495{ (3x)}^{ 8 }{ (-4) }^{ 4 }

Wanneer de stroom wordt toegepast op de voorwaarden, het resultaat is:

\displaystyle 495\cdot 6561{x}^{8} \cdot 256 =831409920{x}^{8}

Dus de vijfde termijn van {(3x-4)}^{12} is 831409920{x}^{8}.