Grunnleggende funksjonene i Cantorian sette teori
I beste fall, den foranstående beskrivelse presenterer bare et intuitivt konseptet av et sett. Viktige funksjoner av konseptet som Cantor forstått det omfatter: (1) som et sett er en samling i en enkelt enhet av gjenstander av alle slag, og (2) at, gitt et objekt x og en stille En, akkurat en av de uttalelser x ∊ A og x ∉ A er sann og den andre er falske. Den konkrete forhold som kan eller ikke kan eksistere mellom et objekt og et sett kalles medlemskap forhold.,
En ytterligere hensikten med denne beskrivelsen er formidlet av hva kalles prinsippet om utvidelse—et sett er bestemt av dets medlemmer, snarere enn av en bestemt måte å beskrive den satt. Dermed, setter A og B er like hvis og bare hvis alle elementene i A er også i B, og hvert element i B er i En; symbolsk, x ∊ En innebærer x ∊ B og vice versa. Det finnes, for eksempel, nøyaktig ett sett medlemmene som er 2, 3, 5, og 7., Det spiller ingen rolle om dens medlemmer er beskrevet som «primtall mindre enn 10» eller listet opp i en viss rekkefølge (som ordre er uvesentlig) mellom små tannregulering, muligens {5, 2, 7, 3}.
Den positive heltall {1, 2, 3, …} er vanligvis brukt for å telle elementene i et finitt sett. For eksempel mengden {a, b, c} kan settes i en-til-en korrespondanse med elementer av mengden {1, 2, 3}. Nummer 3 er kalt cardinal nummer, eller cardinality, av mengden {1, 2, 3}, så vel som alle satt som kan settes inn i en en-til-en korrespondanse med det., (Fordi det tomme settet har ingen elementer sin cardinality er definert som 0.) Generelt sett er begrenset og dens cardinality er n hvis det finnes en sammenkobling av dets elementer med mengden {1, 2, 3, …, n}. Et sett for der er det ingen slik korrespondanse er sagt å være uendelig.
for Å angi uendelig sett, Cantor brukes prediktivt formler. Uttrykket «x er en professor» er et eksempel på en formel; hvis symbolet x i dette uttrykket er erstattet av navnet på en person, er det resultatene en deklarativ setning som er sant eller usant. Notasjonen S(x) vil bli brukt til å representere en slik formel., Uttrykket «x er en professor ved universitetet y og x er en mann» er en formel med to variabler. Hvis forekomster av x og y er erstattet med navnene til aktuelle, konkrete gjenstander, resultatet er en deklarativ setning som er sant eller usant. Ikke gitt noen formelen S(x) som inneholder bokstaven x (og muligens andre), Cantor er prinsippet om abstraksjon hevder eksistensen av en mengde a slik at det for hvert objekt x, x ∊ A hvis og bare hvis S(x) holder., (Matematikere senere formulert en begrenset prinsippet om abstraksjon, også kjent som prinsippet om forståelse, der selv-referanse predikater, eller S(A), er ekskludert for å hindre at enkelte paradokser. Se nedenfor Cardinality og transfinite tall.) På grunn av prinsippet om utvidelse, settet har En tilsvarende S(x) må være unikt, og det er symbolisert ved {x | S(x)}, som er lese «sett av alle objekter x slik at S(x).»For eksempel, {x | x er blå} er mengden av alle blå objekter., Dette illustrerer det faktum at prinsippet om abstraksjon innebærer eksistensen av angir elementer som er alle objekter å ha en bestemt eiendom. Det er faktisk mer omfattende. For eksempel, det hevder eksistensen av et sett B tilsvarende «Enten x er en astronaut eller x er et naturlig tall.»Astronautene har ingen bestemt eiendel til felles med tall (andre enn både å være medlemmer av B).