jeg vil nå vise deg min preferredway for å finne en invers av en 3 av 3 matrise. Og jeg tror faktisk at det’sa mye mer moro. Og du er mindre sannsynlig tomake uforsiktig feil. Men hvis jeg husker riktig fromAlgebra 2, kan de ikke lære det på denne wayin Algebra 2. Og det er derfor jeg lærte theother måte i utgangspunktet. Men la oss gå gjennom dette. Og i en fremtidig video, jeg willteach du hvorfor det fungerer. Fordi det er alwaysimportant., Men i lineær algebra, dette isone av de få fagene hvor jeg tror det er veldig importantlearn hvordan å gjøre operasjoner første. Og senere,vi vil vite hvorfor. Fordi hvordan isvery mekanisk. Og det er egentlig bare involvessome grunnleggende aritmetiske for det meste. Men hvorfor har en tendens tobe ganske dypt. Så jeg vil forlate thatto senere videoer. Og du kan ofte tror aboutthe dybden av ting når du har trygghet for at du atleast forstå hows. Så uansett, la oss gå backto vår opprinnelige matrisen. Og hva var det som originalmatrix som jeg gjorde i den siste videoen? Det var 1, 0, 1, 0,2, 1, 1, 1, 1., Og vi ønsket å finne theinverse av denne matrisen. Så dette er hva vi’regoing å gjøre. Det kalles Gauss-Jordanelimination, for å finne den inverse til en matrise. Og måten du gjør det-og itmight virke litt som magi, men det kan virke som en littlebit som voodoo, men jeg tror du vil se i fremtiden videoer thatit gjør mye fornuftig. Hva vi gjør er at vi augmentthis matrise. Hva gjør forsterke betyr? Det betyr at vi bare addsomething til det. Så jeg trekke en skillelinje. Noen mennesker ikke. Så hvis jeg legger en dividingline her. Og hva gjør jeg satt på otherside av delelinjen?, Jeg setter identitet matrixof samme størrelse. Dette er 3 av 3, så jeg satte a3 med 3 identitet matrise. Så det er 1, 0, 0,0, 1, 0, 0, 0, 1. All right, så hva arewe kommer til å gjøre? Hva jeg kommer til å gjøre er performa rekke elementære rad operasjoner. Og jeg er i ferd med å fortelle deg whatare gyldig elementære rad operasjoner på denne matrisen. Men uansett hva jeg gjør til enhver ofthese rader her, har jeg til å gjøre til correspondingrows her. Og målet mitt er egentlig toperform en haug av operasjoner på venstre side., Og selvfølgelig, sameoperations vil bli brukt til høyre side, slik at Ieventually ende opp med identitet matrise på theleft side. Og så når jeg har theidentity matrise på venstre side, hva jeg har igjen onthe høyre side vil bli det omvendte av thisoriginal matrise. Og når dette blir anidentity matrix, som faktisk er kalt reducedrow gruppe-formen. Og jeg skal snakke mer om det. Det er mange navn andlabels i lineær algebra. Men de er egentlig bare fairlysimple konsepter. Men uansett, la oss komme startedand dette bør bli litt mer klart., Minst processwill bli klart. Kanskje ikke hvorfor det fungerer. Så først av alt, jeg sa jeg’mgoing å utføre en haug av operasjoner her. Hva er legitimateoperations? De kalles elementaryrow operasjoner. Så det er en couplethings jeg kan gjøre. Jeg kan erstatte alle rowwith at rad multiplisert med noen tall. Så jeg kunne gjøre det. Jeg kan bytte noen to rader. Og selvfølgelig hvis jeg bytte si thefirst og andre rad, ville jeg må gjøre det her også. Og jeg kan legge til eller trekke fra onerow fra en annen rad. Så når jeg gjør det-så forexample, jeg kunne ta denne raden, og erstatte det med thisrow lagt til denne raden., Og du vil se hva Imean i den andre. Og du vet, hvis du kombinerer det,du kan du kan si, vel jeg kommer til å flere thisrow ganger negative 1, og legge det til i denne raden, og replacethis rad med det. Så hvis du begynner å føle deg likethis er noe som det du har lært når du learnedsolving systemer av lineære ligninger, som’sno tilfeldighet. Fordi matriser er actuallya veldig god måte å representere det, og jeg vil showyou at snart. Men uansett, la oss gjøre someelementary rad operasjoner for å få dette til venstre på siden intoreduced rad-gruppe-formen., Hvor er egentlig bare en fancy wayof sa, la oss slå det inn identiteten matrise. Så la oss se whatwe ønsker å gjøre. Vi ønsker å ha 1’sall over her. Vi ønsker at disse skal være 0-tallet. La oss se hvordan vi kan dothis effektivt. La meg trekke matrix igjen. Så la oss få en 0 her. Det ville være praktisk. Så jeg kommer til å holde thetop to rader samme. 1, 0, 1. Jeg har min skillelinje. 1, 0, 0. Jeg gjorde ikke noe det. Jeg gjør ikke anythingto andre rad. 0, 2, 1. 0, 1, 0. Og hva jeg skal gjøre, jeg’mgoing å erstatte dette rad-Og bare så du vet mymotivation, målet mitt er å få en 0 her., Så jeg er litt closerto å ha identitet matrix her. Så hvordan kan jeg få en 0 her? Hva jeg kan gjøre er at jeg kan replacethis rad med denne raden minus denne raden. Så jeg kan erstatte thirdrow med den tredje raden minus den første raden. Så hva er den tredje rowminus første rad? 1 minus 1 er 0. 1 minus 0 er 1. 1 minus 1 er 0. Vel, jeg gjorde det på venstre handside, så jeg må gjøre det på høyre side. Jeg nødt til å erstatte thiswith dette minus dette. Så 0, minus 1 er minus 1. 0 minus 0 er 0. Og 1 minus 0 er 1. Fair nok. Nå, hva kan jeg gjøre?, Vel denne raden til høyre her, thisthird rad, det har 0 og 0– det ser mye som det jeg wantfor min andre rad i identitet matrise. Så hvorfor kan jeg ikke bare swapthese to rader? Hvorfor kan jeg ikke bare bytte thefirst og andre rader? Så la oss gjøre det. Jeg kommer til å bytte firstand andre rader. Så det første rowstays det samme. 1, 0, 1. Og så den andre siden staysthe samme som godt. Og jeg bytte secondand tredje rad. Så nå min andre rowis nå 0, 1, 0. Og jeg trenger å bytte det onthe høyre side. Så det er minus 1, 0, 1. Jeg er bare bytte disse to., Så da min tredje rad nowbecomes hva den andre raden var her. 0, 2, 1. Og 0, 1, 0. Fair nok. Nå, hva skal jeg gjøre? Vel, det ville være fint ifI hadde en 0 her. Som ville få meg som muchcloser til identitet matrise. Så hvordan kan jeg få 0 her? Vel, hva hvis jeg trukket 2times rad to fra en rad? Fordi dette ville bli,1 ganger 2 er 2. Og hvis jeg trukket som fromthis, vil jeg få en 0 her. Så la oss gjøre det. Så den første raden hasbeen veldig heldig. Det har ikke måtte gjøre noe. Det er bare sitter der. 1, 0, 1, 1, 0, 0. Og den andre raden er notchanging for nå. Minus 1, 0, 1., Hva nå gjorde jeg si Iwas kommer til å gjøre? Jeg kommer til å trekke fra 2 timesrow to fra rad tre. Så dette er 0 minus2 ganger 0 er 0. 2 minus 2 ganger 1,vel det er 0. 1 minus 2 ganger 0 er 1. 0 minus 2 ganger negative 1 er-så la oss huske 0 minus 2 ganger negative 1. Så det er 0 minus negative2, så det er en positiv 2. 1 minus 2 ganger i 0. Vel, det er fortsatt bare 1. 0 minus 2 ganger 1. Så det er minus 2. Har jeg gjort det riktig? Jeg bare ønsker å være sikker. 0 minus 2 ganger– høyre, 2times minus 1 er minus 2. Og jeg er subtractingit, så det er pluss. OK, så jeg er nær., Dette ser nesten ut som theidentity matrise eller reduserte rad-gruppe-formen. Bortsett fra dette 1 rett her. Så har jeg endelig kommer til å haveto trykk på den øverste raden. Og hva kan jeg gjøre? hva om jeg bytter toprow med den øverste raden minus nederste rad? Fordi hvis jeg subtractthis fra at dette vil få en 0 der. Så la oss gjøre det. Så jeg bytte toprow med den øverste raden minus den tredje raden. Så 1 minus 0 er 1. 0 minus 0 er 0. 1 minus 1 er 0. Det var hele vårt mål. Og deretter 1 minus 2is negative 1. 0 minus 1 er negativ 1. 0 minus negative 2., wellthat er positiv 2., Og så den andre rowsstay det samme. 0, 1, 0, minus 1, 0, 1. Og så 0, 0, 1, 2,1, negative 2. Og der har du det. Vi har utført en seriesof operasjoner på venstre side. Og vi har utført thesame operasjoner på høyre side. Dette ble identitymatrix, eller reduserte rad-gruppe-formen. Og dette gjorde vi usingGauss-Jordan eliminasjon. Og hva er dette? Vel dette er den inverse ofthis opprinnelige matrisen. Denne ganger dette vil equalthe identitet matrise. Så hvis dette er en, thanthis er en invers. Og det er alt du har å gjøre., Og som du kan se, dette tookme halve beløpet av tid, og krevde mye lesshairy matematikk enn da jeg gjorde det med adjoint andthe kofaktorer og determinanten. Og hvis du tenker på det, jeg’llgive du et lite hint av grunnen til dette arbeidet. Hver og en av disse operationsI gjorde på venstre side, du kan slags se dem asmultiplying– du vet, de skal komme fra her til her,har jeg multiplisert. Du kan slags sier thatthere er en matrise. At hvis jeg multiplisert med thatmatrix, ville det ha utført denne operasjonen. Og så ville jeg ha hatt tomultiply av en annen matrise for å gjøre denne operasjonen., Så egentlig hva vi gjorde iswe multiplisert med en serie av matriser for å få her. Og hvis du multiplisert allof dem, hva vi kaller eliminering matriser, sammen,du egentlig multiplisere denne timesthe omvendt. Så hva er det jeg sier? Så hvis vi har en, til å gå fromhere til her, må vi multiplisere en times theelimination matrise. Og dette kan være completelyconfusing for deg, så ignorer den hvis det er det, men det mightbe innsiktsfulle. Så hva gjorde vi eliminatein dette? Vi eliminert 3, 1. Vi multiplisert med theelimination matrix 3, 1, for å få her. Og så, for å gå fromhere til her, har vi multiplisert med noen matrix., Og jeg skal fortelle deg mer. Jeg vil vise deg howwe kan konstruere disse eliminering matriser. Vi multiplisere med en eliminationmatrix. Vel, faktisk, vi hada rad swap her. Jeg vet ikke hva youwant å kalle det. Du kan ringe thatthe swap-matrise. Vi byttet om rad to og tre. Og så er her, vi multipliedby eliminering matrix– hva gjorde vi gjør? Vi fjernet dette, ble sothis rad tre, kolonne to, 3, 2. Og så til slutt, for å få her,vi hadde til å formere seg ved eliminering matrise. Vi hadde til eliminatethis her. Så vi eliminert rowone, kolonne tre., Og jeg vil du skal vite rightnow at det ikke er viktig hva disse matrisene er. Jeg vil vise deg hvordan vi canconstruct disse matriser. Men jeg vil bare at du skal ha kindof en porsjon tro at hver av disse operasjonene couldhave blitt gjort ved å multiplisere med noen matrix. Men det vi vet er bymultiplying av alle disse matrisene vi i hovedsak gotthe identitet matrise. Tilbake her. Så kombinasjonen av alle ofthese matriser, når du multiplisere dem med hverandre, dette må være den inverse matrisen. Hvis jeg var å multiplisere hver ofthese eliminering og rad swap-matriser, dette må være theinverse matrise med en., Fordi hvis du multiplyall dem ganger, får du det omvendte. Vel, hva skjedde? Hvis disse matriser arecollectively den inverse matrisen, hvis jeg gjør dem, hvis Imultiply identiteten matrix ganger for dem– de eliminationmatrix, denne ganger som tilsvarer det. Denne ganger thatequals det. Denne ganger thatequals det. Og så videre. Jeg er i hovedsak å multiplisere–når du kombinerer alle disse-en invers timesthe identitet matrise. Så hvis du tenker på det justvery store bildet-og jeg ønsker ikke å forvirre deg. Det er bra nok på thispoint hvis du bare forsto hva jeg gjorde., Men det jeg gjør fra alle ofthese trinnene, jeg er egentlig å multiplisere begge sider av thisaugmented matrix, du kan kalle det, ved en invers. Så jeg multiplisert dette med ainverse, for å komme til identitet matrise. Men selvfølgelig, hvis jeg multipliedthe invers matrise ganger identitet matrix, jeg vil getthe invers matrise. Men uansett, jeg ikke wantto forvirre deg. Forhåpentligvis vil gi youa litt intuisjon. Jeg vil gjøre dette senere med somemore konkrete eksempler., Men forhåpentligvis vil du se at thisis en mye mindre hårete enn den måten vi gjorde det med theadjoint og kofaktorer og mindre matriser og thedeterminants, et cetera. Uansett, jeg vil se youin neste video.