Ved slutten av siste episode, vi hadde bevist at de indre vinklene i en trekant alltid legge opp til 180 grader. Eller så virket det som. Helt til slutt, jeg utfordret deg til å prøve deg på et prosjekt med en ballong som forhåpentligvis tvunget deg til å stille spørsmål ved denne konklusjonen.
Visste du ta meg opp på denne utfordringen og prøve prosjektet? Hvis ikke, er det ikke for sent å gi det et forsøk. Og du definitivt bør da det vil tvinge deg til å tenke på spørsmål som «Hvor mange grader er i en trekant?,»og «Gjøre parallelle linjer noensinne korset?»på en helt ny måte.
Hvorfor er det? Vel, det viser seg at den type geometri du lært på skolen er ikke den eneste slags geometri. Og, som en enkel ballong kan vise konsekvensene av denne andre slags geometri er ganske overraskende.
.
Ballonger, Trekanter og Vinkler
for noen måneder siden, min datter fikk sin første ballong på hennes første bursdag partiet. Helt siden den dagen, ballonger har blitt bare om de mest utrolige ting i hennes verden., Etter festen hennes, bestemte hun seg for å ringe henne ballong «ba», og nå ganske mye av alt som er rundt har også blitt kalt «ba.»En ball? En «ba.»Månen? Jepp, også en «ba.»
Hvorfor gjorde hun bestemmer seg for at ballonger—og alle andre runde objekt—er så fascinerende? Jeg kan være partisk i denne troen, men jeg har kommet til den konklusjon at det er fordi de er så flinke til å demonstrere noen fantastiske egenskaper av det som kalles non-Euclidean geometry. OK, det er nesten helt sikkert ikke sant…men regnestykket fan i meg ønsker å tro det.,
Som jeg beskrev siste tiden, kan du få et glimt av en av disse egenskapene ved å utføre en enkel matematikk-og-håndverk-prosjektet. Alt du trenger å gjøre er å få en uninflated ballong, legge den på et flatt underlag, og å komme så nær en perfekt trekant på det som du kan. Hvis du har en vinkelmåler, ville dette være et godt tidspunkt å måle vinkler og sørge for at de legger opp til ca 1800.
Nå, blåse opp ballongen og ta en titt på gang-perfekt trekant. Hva skjedde med det? Gjøre sitt vinkler fortsatt legge opp til 1800?, For å forstå hva du ser, vi trenger å snakke om forskjellene mellom det som er kalt Euclidean og non-Euclidean geometry.
Hva Er Euclidean Geometry?
Siden vi snakker om geometri, vil vi først beste etablere hva vi mener med «geometri.»I vid forstand, geometri er riket av matematikk der vi snakker om ting som punkter, linjer, vinkler, trekanter, sirkler, firkanter og andre figurer, samt egenskaper og relasjoner mellom egenskaper av alle disse tingene.
Den type geometri vi vanligvis lære på skolen er kjent som Euclidean geometry.,
Den type geometri vi vanligvis lære på skolen—og type geometri vi vanligvis tenker på når vi tenker på «geometri»—er kjent som Euclidean geometry. Hvorfor en så riktig navn? Euclidean geometry får sitt navn fra det gamle greske matematiker Euclid som skrev en bok kalt Elementer for over 2000 år siden og som han ikke skissert, avledet, og oppsummert de geometriske egenskapene til objekter som eksisterer i en flat to-dimensjonalt plan. Dette er grunnen til at Euclidean geometry er også kjent som «flyet geometri.,»
I flyet geometri, de indre vinklene i trekantene legge opp til 1800, to parallelle linjer aldri cross, og den korteste avstanden mellom to punkter er alltid en rett linje.
Hva Er Non-Euclidean Geometry?
Men det viser seg at ikke alt bor i en to-dimensjonal flatskjerm verden og er derfor ikke alt er bundet av lovene i flyet Euclidean geometry. For eksempel: du, meg, og hele menneskeheten lever på overflaten av Jorden, og Jorden er ikke flat. Det er, faktisk, en ca sfærisk objekt., Noe som betyr at reglene i plan geometri ikke styre våre liv.
for Å forstå hva dette betyr, la oss gå tilbake for et minutt å ballonger. En uninflated ballongen er en flat gjenstand, og derfor lever i riket av Euclidean geometry. I denne verden, pent trukket trekanter har 1800. Men så snart du blåse opp ballongen, overflaten er ikke lenger flatskjerm—det blir sfærisk, og som bringer det inn i riket av hva som er kjent som non-Euclidean geometry.,
begrepet non-Euclidean høres veldig fancy, men det er egentlig bare betyr enhver type geometri som ikke er Euclidean—det vil si, som ikke eksisterer i en flat verden. En non-Euclidean geometry er en gjennomtenkning og redescription av egenskapene til ting som punkter, linjer og andre figurer i et ikke-flatskjerm verden. Sfærisk geometri—som er slags fly geometri vridd på overflaten av en kule—er ett eksempel på en non-Euclidean geometry.
Non-Euclidean Geometry i den Virkelige Verden
I flat flyet geometri, trekanter har 1800., I sfærisk geometri, de indre vinklene i trekantene alltid legge opp til mer enn 1800. Du har så dette med oppblåst ballong, men du kan også se det ved å tenke på Jorden.
I sfærisk geometri, de indre vinklene i trekantene alltid legge opp til mer enn 1800.
Tenk deg at du starter på Jordens Nordpol og gå sørover til du kommer til ekvator. Du kan deretter gå rett øst til du reiser 1/4 av veien rundt planeten. Til slutt, vil du vende nordover igjen og gå tilbake til Nordpolen., Hvis du tenker på det, vil du se at banen du har reist er en trekant på sfærisk overflaten av Jorden. Og den gale ting er at alle de tre vinkler av denne «trekanten» er rette vinkler—så sin indre vinklene legge opp til 90 x 3 = 2700.
Her er en annen sprø ting: par linjer som representerer de to sidene i trekanten merking nord-sør-deler av reisen er «parallell» til hverandre—i den forstand at de begge går i nord-sør retning. Men de møtes på Nordpolen! Og Sydpolen!, Så selv om de går i samme retning, de er ikke parallelt som det aldri-krysset parallelle linjer med fly geometri.
Og bare i tilfelle det er ikke nok til å få deg til å tenke at » non-Euclidean geometry er full av overraskelser, her er en annen en. I et kjent tilfelle av «ikke sant? Hvordan er det mulig?»det viser seg at den korteste veien til å fly fra Florida til Filippinene (som, tankene, er på et mer sørlige breddegrad enn Florida) er å fly over Alaska! Hvordan er det mulig? Jeg kommer til å la deg tenke på det…men sørg for å sjekke tilbake neste gang for svaret.,
Wrap Up
OK, det er alle matte-vi har tid til i dag.
Vær sikker på å sjekke ut min bok, Matte-Dude ‘ s Quick and Dirty Veiledning til Algebra. Og husk å bli en fan av Matematikk Dude på Facebook, hvor du vil finne massevis av stor matematikk lagt ut hele uken. Hvis du er på Twitter, kan du følge meg på det også.
Inntil neste gang, dette er Jason Marshall med Matte-Dude ‘ s Quick and Dirty Tips for å Gjøre Regnestykket Enklere. Takk for lesing, matte-fans!
Sfære bilde gjengitt med tillatelse av .