Grenseløse Algebra

Binomiske Utvidelser og Pascal ‘s Trekant

Den binomiske teorem, som bruker Pascal’ s trekanter for å finne koeffisienter, beskriver den algebraiske utvidelse av krefter av en binomial.,

Binomiske Teorem

Den binomiske teorem er en algebraisk metode for å utvide en binomial uttrykk. I hovedsak, det viser hva som skjer når du multiplisere en binomial av seg selv (så mange ganger du vil). For eksempel, tenk uttrykk (4x+y)^7. Det vil ta ganske lang tid å multiplisere den binomiske (4x+y) ut sju ganger., Den binomiske teorem gir en short cut, eller en formel som gir utvidet form av dette uttrykket.

For eksempel, tenk deg følgende utvidelse:

\displaystyle {(x+y)}^{4}={x}^{4}+4{x}^{3}{y}+6{x}^{2}{y}^{2}+4x{y}^{3}+{y}^{4}

i Henhold til den binomiske teorem, det er mulig å utvide noen kraften i x + y inn en sum på formen:

hvor hver verdi \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} er en bestemt positivt heltall kjent som binominal-koeffisienten. Denne formelen er referert til som den Binomiske Formel., Ved hjelp av summering notasjon, det kan skrives som:

\displaystyle { (x+y) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ n-k }{ y }^{ k }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ k }{ y }^{ n-k }

En betydelig mengde tid kan være nødvendig for å bruke den binomiske teorem og utføre alle beregninger i ovennevnte formel, spesielt for høye verdier av n. Derfor, det som følger er en snarvei for å finne binomiske utvidelser hjelp av et visuelt verktøy.,

Pascal ‘s Trekant

Pascal’ s trekant er en alternativ måte å bestemme koeffisientene som oppstår i binomial utvidelser, ved hjelp av et diagram snarere enn algebraiske metoder. For en binomial ekspansjon med en relativt liten eksponent, kan dette være en grei måte å bestemme koeffisientene.

I diagrammet nedenfor, legg merke til at hvert tall i trekant er lik summen av de to rett ovenfor. Dette mønsteret fortsetter på ubestemt tid.,

radene i Pascals trekant er er nummerert, fra og med rad n = 0 på toppen. Bidragene i hver rad er nummerert fra venstre starter med k = 0, og er vanligvis forskjøvet i forhold til tallene i tilstøtende rader. En enkel konstruksjon av det triangelet som foregår på følgende måte. På rad 0, skriv bare nummer 1. Så, for å lage elementer av følgende rader, legg til de to ovennevnte tall for å finne den nye verdien., Hvis noen av tallene ovenfor ikke er til stede, erstatte en null på sin plass. For eksempel, at hvert tall i en rad er 0 + 1 = 1.,

for Å forstå hvordan dette mønsteret gjelder for den binomiske formel, bør du vurdere utvidelse:

\displaystyle {(x + y)}^{2} = {x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 1{x}^{2}{y}^{0} + 2{x}^{1}{y}^{1} + 1{x}^{0}{y}^{2}

\displaystyle {(x + y)}^{n} = {a}_{0}{x}^{n} + {a}_{1}{x}^{n-1}y +{a}_{2}{x}^{n-2} {y}^{2} + \cdot\cdot\cdot {a}_{n-1}{x}{y}^{n-1} + {a}_{n}{y}^{n}

legg Merke til at hele høyre diagonal av Pascal ‘ s trekant tilsvarer koeffisient av y^n i disse binomiske utvidelser, mens den neste diagonal tilsvarer koeffisient av xy^{n−1}, og så videre.,

Eksempel: Finne utvidelse av (x+y)^5 ved hjelp av Pascal ‘s trekant

legg Merke til at n=5, og husker at dette ville tilsvare rad 5 av Pascal’ s trekant.

\displaystyle {(x + y)}^{5} = {a}_{0}{x}^{5} + {a}_{1}{x}^{4}y +{a}_{2}{x}^{3} {y}^{2} + {a}_{3}{x}^2{y}^{3} + {a}_{4}{x}{y}^{4}+{a}_{5}{y}^{5}

\displaystyle {(x + y)}^{5} = {x}^{5} + 5{x}^{4}{y} + 10{x}^{3}{y}^{2} + 10{x}^{2}y^{3} + 5{x}{y}^{4} + {y}^{5}

Binomiske Ekspansjon og Fakultet Notasjonen

Den binomiske teorem beskriver den algebraiske utvidelse av krefter av en binomial.,

Husker at den binomiske teorem er en algebraisk metode for å utvide en binomial som er reist til en viss effekt, for eksempel (4x+y)^7., Teoremet er gitt ved formelen:

\displaystyle { (x+y) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ n-k }{ y }^{ k }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ k }{ y }^{ n-k }

koeffisienten til et begrep x^{n−k}y^k i en binomial utvidelse kan beregnes ved hjelp av kombinasjonen formel. Husker at kombinasjonen formelen representerer antall måter å velge k elementer fra blant n, hvor rekkefølgen ikke spiller noen rolle. Formelen består av factorials:

\displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac { n!, }{ k!(n-k)! }

Eksempel: Bruk den binomiske formel for å finne utvidelse av (x+y)^4

Start ved å erstatte n=4 i den binomiske formel:

\displaystyle (x+y)^4=\sum _{ k=0 }^{ 4 }{ \begin{pmatrix} 4 \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ 4-k }{ y }^{ k }

for å løse dette, trenger vi å utvide summering for alle verdier av k.

Nå må vi vurdere hvert av de øvrige kombinasjoner:

\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac { 4! }{ 1!(4-1)! } = \frac { 4! }{ 1!3! } = 4

\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac { 4!, }{ 2!(4-2)! } = \frac { 4! }{ 2!2! } = 6

\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac { 4! }{ 3!(4-3)! } = \frac { 4! }{ 3!1! } = 4

å Erstatte disse heltall til utvidelsen, har vi:

\displaystyle (x+y)^4 = { x }^{ 4} + 4 { x }^{ 3}{ y } + 6 { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } + 4 { x }{ y }^{ 3 } + { y }^{ 4 }

for å Finne en Bestemt Term

rth sikt av den binomiske utvidelse kan bli funnet med ligningen: { \begin{pmatrix} n \\ r-1 \end{pmatrix} }{ a }^{ n-(r-1) }{ b }^{ r-1 }.,

Mål

Praksis for å finne en bestemt term for en binomial utvidelse

– Tasten Takeaways

– Tasten Poeng

– Tasten Vilkår

• heltall: Et element av det uendelige og numerable satt \left \{ \cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \cdots \right \}.

La oss gå gjennom noen utvidelser av binomials, for å vurdere eventuelle mønstre som er til stede i vilkårene.,

\displaystyle {(a+b)}^{1}=a+b

\displaystyle {(a+b)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}

\displaystyle {(a+b)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^3

\displaystyle {(a+b)}^{4}={a}^{4}+4{a}^{3}b+6{a}^{2}{b}^{2}+4a{b}^{3}+{b}^4

Et par ting som bør bli lagt merke til:

Hvis utvidelsen er kort, for eksempel:

\displaystyle \begin{align} {(x+2)}^{3}&={x}^{3}+2{x}^{2}{2}^{1}+2{x}^{1}{2}^{2}+{2}^{3}\\ &={x}^{3}+4{x}^{2}+8{x}+8 \end{align}

Så det er lett å finne et bestemt begrep., Dette blir vanskelig og tidkrevende når utvidelsen er stor. Det er, heldigvis, en snarvei for å identifisere bestemt form av lengre utvidelser. Følgende formel gir rth sikt i utvidelsen:

\displaystyle { \begin{pmatrix} n \\ r-1 \end{pmatrix} }{ a }^{ n-(r-1) }{ b }^{ r-1 }

Husker at kombinasjonen formel gir en måte å beregne \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}:

\displaystyle {\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{n!}{(n-k)!k!, }}

Eksempel: Finn den femte periode av {(3x-4)}^{12}

\displaystyle { \begin{pmatrix} 12 \\ 5-1 \end{pmatrix} }{ (3x) }^{ 12-(5-1) }{ (-4) }^{ 5-1 }

\displaystyle { \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} }{ (3x)}^{ 8 }{ (-4) }^{ 4 }

Husk å evaluere \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} hjelp av en kombinasjon formel:

\displaystyle \begin{align} \frac{n!}{(n-k)!k! }&=\frac{12!}{(12-4)!4!, }\\ &=495 \end{align}

Subbing i \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}=495 i formelen, har vi:

\displaystyle 495{ (3x)}^{ 8 }{ (-4) }^{ 4 }

Når strømmen er brukt til vilkårene, resultatet er:

\displaystyle 495\cdot 6561{x}^{8} \cdot 256 =831409920{x}^{8}

Derfor, den femte periode av {(3x-4)}^{12} er 831409920{x}^{8}.