Den PEMDAS Paradoks

Det ser ut trivielt, men det fortsetter å gå viral. Hvilket svar får du whenyou beregne ? Dette spørsmålet har nådd hvert hjørne av sosiale medier, og har hatt millioner av mennesker reagerer med to vanligste svarene: og .

Du tenker kanskje halvparten av dem er rett og theother halvparten trenger å sjekke deres regning. Men det har aldri spiller ut likethat; respondentene på begge sider forsvare sine svar withconfidence., Det har ikke vært noen formelle matematiske publikasjoner aboutthe problem, men et økende antall av matematikere kan forklare hva som skjer: er ikke et godt definert uttrykk.

Vel-definert er et viktig begrep i matematikk. Det betyr i hovedsak at en viss inputalways gir samme effekt. Alle matematikk lærere er enige i at , og som . Den ekstra parentes (parentes) fjerne tvetydighet og de uttrykk som er godt definert., De fleste andre viral matematikk problemer, som for eksempel (se her), er godt definert, med ett riktig svar og ett (ormore) felles feilaktige svar(s). Men å beregne verdien av theexpression er en del av konvensjonen. Verken svar, eller , er galt, og det avhenger av hva du har lært av dine matematikk lærer.,

i hvilken rekkefølge for å utføre matematiske operasjoner er gitt ved variousmnemonics PEMDAS, BODMAS, BIDMAS og BEDMAS:

• P (B): først beregne verdien av uttrykk i parentes (parentes);
• E (eller O eller jeg): neste beregne noen eksponenter (ordre/indekser);
• MD (eller DM): neste gjennomføre noen multiplications og avdelinger, som arbeider fra venstre til høyre;
• SOM: og til slutt utføre eventuelle tillegg og subtractions, arbeider fra venstre til høyre.,

To litt forskjellige tolkninger av PEMDAS (eller BODMAS, etc)har blitt undervist i hele verden, og PEMDAS Paradoks høydepunkter deres forskjellen. Bothsides er vesentlig populært, og det finnes i dag ingen standard for konvensjonen over hele verden.Slik at du kan slutte at Twitter diskusjon og trygg på at hver av dere kan være correctlyremembering hva du lærte – det er bare det at du ble undervist på en annen måte.,

De to sidene

Mekanisk, folk på «9» side – slik som i den mostpopular YouTube-video onthis spørsmål – har en tendens til å beregne , eller kanskje de skrive det som . Folk på denne siden har en tendens til å si at kan bli erstattet med når som helst. Det kan være redusert ned til at: undervisning som « er alltid byttes med » bestemmer PEMDAS Paradokset er svaret å være .,

På «1» side, noen mennesker beregne , mens andre peker ut den distributive eiendel, . Kjøring prinsippet på denne siden er som implisitt multiplikasjon via sidestilling prioritet. Dette har blitt undervist i matematikk klasserom rundt om i verden, og er også et uttalt convention i noen programmering sammenhenger. Så her, den undervisning « er alltid byttes med » bestemmer PEMDAS Paradoks svar til å være .,

Matematisk, er det inkonsekvent å samtidig tror at er utskiftbare med , og også at er utskiftbare med . Fordi da følger det at via argumenter i de foregående avsnittene. Kommer på at motsetningene er logisk, bare for å illustrere at vi ikke kan ha begge svar. Det er også belyser det faktum at ingen av de tolkninger som er iboende til PEMDAS., Begge er subtile andre regler som bestemmer hva du skal gjøre med syntaks rariteter slik som , og så, og aksepterer ingen av dem gir den formelle matematiske konklusjon at er ikke godt definert. Dette er også grunnen til at du ikke «riktig» hverandre på en tilfredsstillende måte: din metoder er logisk uforenlige.

Så uenighet trekker ut ned til dette: føles det som alltid skal byttes med ?, Eller føles det alltid skal byttes med ? Du kan ikke si begge deler.

I praksis, mange matematikere og forskere reagerer på problemet ved å si»uklart syntaks, trenger mer parentes», og forklare hvorfor det er tvetydig, som er essentiallythe riktig svar. En beryktet bildet viser to ulike Casio kalkulatorer side-ved-sidegiven innspill og viser to forskjellige svar., Selv om «syntax error» ville kanskje være det beste svaret en kalkulator bør gi for dette problemet, er det overraskende at de prøver å forene tvetydighet, og det er ok. Men for oss mennesker, ved å merke seg både konvensjoner som følges av store stykker av verden, må vi konkludere med at er i dag ikke godt definert.

Støtte for begge sider

Det er et faktum at Google, Wolfram, og mange lommeregnere gi svar på 9.Kalkulatorer’ svar her er selvfølgelig avgjøres av inndatametoder., Kalkulatorer åpenbart ikke den beste dommere for PEMDAS Paradoks. De simplyreflect dagens uenighet om problemet: kalkulator programmerere er i stor grad klar ofthis nøyaktige problemet og vet allerede at det ikke er standardisert over hele verden, så hvis matematikk lærere allunified på et svar, så de programmerere ville følge.

Tenk Wolfram Alpha, nettstedet som gir et svar motor (som en søkemotor, men snarere enn å gi linker til websider, det gir svar på spørsmål, spesielt matematikk spørringer)., Det tolker som , tolker som ,og tolker som linje gjennom origo med helling en tredjedel. Alle tre er i samsvar med hverandre i en programmering forstand, men de to sistnevnte føle seg underlig til mange observatører. Vanligvis hvis noen jots ned , de betyr , og hvis de mente å si , ville de ha skrevet .,

I motsetning til innspill i Wolfram Alpha, og det gir sinusoid , snarere enn linjen gjennom origo med helning . Dette eksemplet avviker fra tidligere eksempler om regelen « er utskiftbare med «, i favør av å bedre fange den åpenbare hensikten med innspill. Wolfram er bare en algoritme feebly prøver å finne ut betydningen av sin sensoriske input., Litt som hjernen vår. Uansett, input av blir tolket som «over seks cubed», så klart Wolfram er ikke den autoritet på å korrigere stygg syntaks.

På «1» side, en nylig utmerket video av Jenni Gorham, en lærer matematikk med en grad inPhysics, forklarer flere reelle eksempler som støtter at tolkningen. Hun pointsout en rekke anledninger der forskere skriver til å bety . Faktisk, vil du finne rikelig med eksempler på dette i kjemi,fysikk og matematikk lærebøker. Ms., Gorham og jeg havecorresponded om PEMDAS Paradoks, og hun bifaller formelt ringer problemet notwell-definert, mens også peke på behovet for en konsensus convention for the sake ofcalculator programmering. Hun argumenterer for konsensus svaret skal være 1, siden den precedenceof implisitt multiplikasjon av sammenstillingen har vært konvensjonen i det meste av verden i theseformal sammenhenger.

Det store bildet

Det bør bemerkes at konvensjonene ikke trenger å være enhetlig., Hvis to av mine studentsargued over om minst naturlige tall er 0 eller 1, jeg ville ikke kalle noen av dem feil, norwould jeg tar problemet med mangel på verdensbasis enighet om saken. Wolfram vet theconvention er delt mellom to svar, og livet går videre. Hvis alle som bryr seg rett og slett learnsthat den PEMDAS Paradoks har også to populære svar (og dermed i seg selv er ikke et godt definedmaths spørsmål), så det bør være tilfredsstillende.

Forhåpentligvis, etter å ha lest denne artikkelen, det er tilfredsstillende å forstå hvordan et problem som ser ut sobasic har unikt nølte., I det virkelige livet, bør du bruke mer parenteser og unngå tvetydighet. Og forhåpentligvis er det ikke så problematisk at matematikk lærere worldwideappear å være delt på denne konvensjonen, som ikke er veldig sjeldne, og ikke spesielt problematisk, exceptmaybe til kalkulator programmerere.

For lesere som ikke er helt fornøyd med dybden av denne artikkel, kanskje min forrige muchlonger papir vil ikke skuffe., Det går mer i detalj for å rettferdiggjøre formaliteter av logicalconsistency av de to metodene, samt problemet er historie, og min erfaring med det.

Om forfatteren

David Linkletter er en graduate student som arbeider på en Doktorgrad i Matematikk ved University of Nevada, Las Vegas, i USA. Hans forskning er satt i teori – store kardinaler. Han lærer også lavere klasser på UNLV; hans favoritt klasse for å lære er Diskret Matematikk.