Ich zeige Ihnen jetzt meine bevorzugte Methode, eine Umkehrung einer 3 x 3-Matrix zu finden. Und ich finde, es macht viel mehr Spaß. Und es ist weniger wahrscheinlich, dass Sie unvorsichtige Fehler machen. Aber wenn ich mich richtig an Algebra 2 erinnere, haben sie es in Algebra 2 nicht so unterrichtet. Und deshalb habe ich anfangs den anderen Weg gelehrt. Aber lass uns das durchgehen. Und in einem zukünftigen Video werde ich dir erklären, warum es funktioniert. Weil das immer wichtig ist., Aber in der linearen Algebra ist dies eines der wenigen Themen, in denen ich denke, dass es sehr wichtig istlernen Sie, wie Sie zuerst die Operationen ausführen. Und dann lernen wir später das Warum. Weil das Wie sehr mechanisch ist. Und es geht wirklich nur um eine grundlegende Arithmetik zum größten Teil. Aber das Warum neigt dazu, ziemlich tief zu sein. Also werde ich thatto später Videos verlassen. Und Sie können oft darüber nachdenkendie Tiefe der Dinge, wenn Sie Vertrauen haben, dass Sie atleast die Höhen verstehen. Gehen wir also zurück zu unserer ursprünglichen Matrix. Und was war das Originalmatrix, das ich im letzten Video gemacht habe? Es war 1, 0, 1, 0,2, 1, 1, 1, 1., Und wir wollten das Gegenteil dieser Matrix finden. Das ist es also, was wir tun wollen. Es heißt Gauss-Jordanelimination, um die Umkehrung der Matrix zu finden. Und so wie du es machst – und es mag ein bisschen wie Magie erscheinen, es mag ein bisschen wie Voodoo erscheinen, aber ich denke, du wirst in zukünftigen Videos sehen, dass es viel Sinn macht. Was wir tun, ist, dass wir diese Matrix erweitern. Was bedeutet Augment? Das heißt, wir fügen einfach etwas hinzu. Also zeichne ich eine Trennlinie. Manche Leute nicht, wenn ich hier eine Trennlinie setze. Und was mache ich auf der anderen Seite der Trennlinie?, Ich habe die Identitätsmatrix der gleichen Größe. Dies ist 3 mal 3, also habe ich a3 mal 3 Identitätsmatrix eingefügt. Das ist also 1, 0, 0,0, 1, 0, 0, 0, 1. Okay, also, was werden wir tun? Was ich tun werde, ist durchführeneine Reihe von elementaren Zeilenoperationen. Und ich bin dabei, Ihnen zu sagen, wassind gültige elementare Zeilenoperationen auf dieser Matrix. Aber was auch immer ich mit einer dieser Zeilen hier mache, ich muss mit den entsprechenden Zeilen hier tun. Und mein Ziel ist es im Wesentlichen, eine Reihe von Operationen auf der linken Seite durchzuführen., Und natürlich werden die Sameoperationen auf der rechten Seite angewendet, so dass Ieventually mit der Identitätsmatrix auf der linken Seite enden. Und wenn ich dann die Identitätsmatrix auf der linken Seite habe, ist das, was ich auf der rechten Seite gelassen habe, die Umkehrung dieser ursprünglichen Matrix. Und wenn dies zu einer Identitätsmatrix wird, heißt das eigentlich reducedrow Echelon Form. Und ich werde mehr darüber reden. Es gibt viele Namen undlabels in der linearen Algebra. Aber sie sind wirklich nur fairlysimple Konzepte. Aber wie auch immer, fangen wir anund das sollte ein wenig klar werden., Zumindest wird der Prozess klar. Vielleicht nicht, warum es funktioniert. Also zuerst sagte ich, ich werde hier eine Reihe von Operationen durchführen. Was sind Legitimationen? Sie werden Elementaryrow-Operationen genannt. Es gibt also ein paar Dinge, die ich tun kann. Ich kann jede Zeile durch diese Zeile multipliziert mit einer Zahl ersetzen. Also könnte ich das tun. Ich kann zwei beliebige Zeilen austauschen. Und natürlich, wenn ich thefirst und second row sagen würde, müsste ich es auch hier tun. Und ich kann onerow aus einer anderen Zeile hinzufügen oder subtrahieren. Wenn ich das also mache – also zum Beispiel, könnte ich diese Zeile nehmen und sie durch thisrow ersetzen, das dieser Zeile hinzugefügt wurde., Und du wirst sehen, was im zweiten passiert. Und weißt du, wenn du es kombinierst, könntest du sagen, nun, ich werde thisrow mal negativ 1 multiplizieren und es dieser Zeile hinzufügen und diese Zeile dadurch ersetzen. Wenn Sie also das Gefühl haben, dass dies so etwas wie das ist, was Sie beim Lösen linearer Gleichungssysteme gelernt haben, ist das kein Zufall. Weil Matrizen eigentlich eine sehr gute Möglichkeit sind, das darzustellen, und das werde ich dir bald zeigen. Aber wie auch immer, lassen Sie uns someelementary Zeilenoperationen durchführen, um diese linke Seite in eine reduzierte Zeilenechelonform zu bringen., Das ist wirklich nur eine ausgefallene wayof sagen, lassen Sie uns drehen Sie es in die identity matrix. Also mal sehen, was wir machen wollen. Wir wollen 1 ‚ sall hier haben. Mal sehen, wie wir das effizient stemmen können. Lassen Sie mich die Matrix wieder zeichnen. Also lass uns hier eine 0 bekommen. Das wäre praktisch. Also werde ich die beiden Reihen gleich halten. 1, 0, 1. Ich habe meine Trennlinie. 1, 0, 0. Ich habe dort nichts getan. Ich mache nichts in der zweiten Reihe. 0, 2, 1. 0, 1, 0. Und was ich tun werde, ich werde diese Zeile ersetzen – Und nur damit Sie mymotivation kennen, ist mein Ziel, hier eine 0 zu bekommen., Ich bin also ein bisschen näher dran, die Identitätsmatrix hier zu haben. Wie bekomme ich hier eine 0? Was ich tun könnte, ist, dass ich diese Zeile durch diese Zeile minus dieser Zeile ersetzen kann. So kann ich den thirdrow durch die dritte Zeile minus der ersten Zeile ersetzen. Also, was ist die dritte rowminus die erste Reihe? 1 minus 1 ist 0. 1 minus 0 ist 1. 1 minus 1 ist 0. Nun, ich habe es auf der linken Seite gemacht, also muss ich es auf der rechten Seite tun. Ich muss das durch dieses minus ersetzen. Also 0 minus 1 ist minus 1. 0 minus 0 ist 0. Und 1 minus 0 ist 1. Fair genug. Nun, was kann ich tun?, Nun, diese Zeile hier, diese dritte Zeile, sie hat 0 und 0-sie sieht dem sehr ähnlich, was ich für meine zweite Zeile in der Identitätsmatrix möchte. Warum tausche ich nicht einfach diese zwei Reihen aus? Warum tausche ich nicht einfach die erste und zweite Zeile aus? Also lass uns das tun. Ich werde die ersten und zweiten Zeilen austauschen. Also bleiben die ersten Reihen gleich. 1, 0, 1. Und dann bleibt auch noch die andere Seite. Und ich tausche die zweite und dritte Reihe aus. Also jetzt meine zweite Zeilenist jetzt 0, 1, 0. Und ich muss es auf der rechten Seite tauschen. Es ist also minus 1, 0, 1. Ich tausche nur diese beiden aus., Also dann meine dritte Reihe nowbecomes, was die zweite Reihe war hier. 0, 2, 1. Und 0, 1, 0. Fair genug. Was will ich jetzt tun? Nun, es wäre schön, wenn ich hier eine 0 hätte. Das würde mich so viel näher an die Identitätsmatrix bringen. Also, wie könnte ich hier als 0 bekommen? Was ist, wenn ich 2 Mal Zeile zwei von Zeile eins subtrahiert habe? Denn das wäre 1 mal 2 ist 2. Und wenn ich das davon subtrahiere, bekomme ich hier eine 0. Also lass uns das tun. Die erste Reihe hat also großes Glück gehabt. Es musste nichts tun. Es sitzt nur da. 1, 0, 1, 1, 0, 0. Und die zweite Reihe ist vorerst nicht zu ändern. Minus 1, 0, 1., Was habe ich gesagt, was ich tun werde? Ich werde 2 Mal 2 von Zeile drei subtrahieren. Das ist also 0 minus2 mal 0 ist 0. 2 minus 2 mal 1, nun, das ist 0. 1 minus 2 mal 0 ist 1. 0 minus 2 mal negativ 1 ist–also erinnern wir uns an 0 minus 2 mal negativ 1. Das ist also 0 minus negative2, also ist das positiv 2. 1 minus 2 mal 0 ist. Nun, das ist nur noch 1. 0 minus 2 mal 1. Das ist also minus 2. Habe ich das richtig gemacht? Ich will nur sichergehen. 0 minus 2 mal– rechts, 2 mal minus 1 ist minus 2. Und ich subtrahiere es, also ist es plus. OK, also bin ich nah dran., Dies sieht fast wie die Identitätsmatrix oder reduzierte Zeilenechelonform aus. Bis auf diese 1 hier. Also muss ich endlich die oberste Reihe berühren. Und was kann ich tun? nun, wie wäre es, wenn ich die obere Zeile durch die obere Zeile abzüglich der unteren Zeile ersetze? Denn wenn ich das davon subtrahiere, bekommt das dort eine 0. Also lass uns das tun. Also ersetze ich die obere Zeile durch die obere Zeile minus der dritten Zeile. Also 1 minus 0 ist 1. 0 minus 0 ist 0. 1 minus 1 ist 0. Das war unser ganzes Ziel. Und dann 1 minus 2is negativ 1. 0 minus 1 ist negativ 1. 0 minus negativ 2., nun, das ist positiv 2., Und dann bleiben die anderen Reihen gleich. 0, 1, 0, minus 1, 0, 1. Und dann 0, 0, 1, 2,1, negativ 2. Und da hast du es. Wir haben eine Reihe von Operationen auf der linken Seite durchgeführt. Und wir haben die Operationen auf der rechten Seite durchgeführt. Dies wurde die identitymatrix oder reduzierte Zeile echelon form. Und das haben wir mit einem Sieg gemacht. Und was ist das? Nun, das ist die Umkehrung dieser ursprünglichen Matrix. Dieses Mal wird dies gleichdie Identitätsmatrix. Also, wenn dies ein, thanthis ist ein invers. Und das ist alles, was Sie tun müssen., Und wie Sie sehen konnten, dauerte dies die Hälfte der Zeit und erforderte viel weniger drahtige Mathematik als wenn ich es mit dem adjoint und den Cofaktoren und der Determinante tat. Und wenn du darüber nachdenkst, gebe ich dir einen kleinen Hinweis, warum das funktioniert hat. Jeder dieser Operationen auf der linken Seite, man könnte sie irgendwie als Multiplying betrachten – weißt du, um von hier nach hier zu kommen,habe ich multipliziert. Man kann sagen, dass es eine Matrix gibt. Wenn ich mit thatmatrix multipliziert hätte, hätte es diese Operation ausgeführt. Und dann hätte ich tomultiply durch eine andere Matrix gehabt, um diese Operation durchzuführen., Im Wesentlichen haben wir also eine Reihe von Matrizen multipliziert, um hierher zu gelangen. Und wenn Sie all diese, was wir Eliminationsmatrizen nennen, zusammen multiplizieren, multiplizieren Sie diese Zeit im Wesentlichendie Umkehrung. Also, was sage ich? Wenn wir also a haben, um von hier nach hier zu gehen, müssen wir das a-fache Dereliminationsmatrix multiplizieren. Und das könnte für Sie völlig verwirrend sein, also ignorieren Sie es, wenn es so ist, aber es könnte aufschlussreich sein. Und was haben wir daraus gemacht? Wir eliminierten 3, 1. Wir multiplizierten mit Dereliminationsmatrix 3, 1, um hierher zu kommen. Und dann, um von hier nach hier zu gehen, haben wir mit einer Matrix multipliziert., Und ich erzähle dir mehr. Ich zeige Ihnen, wie wir diese Eliminationsmatrizen konstruieren können. Wir multiplizieren mit einer Eliminationmatrix. Nun, eigentlich hatten wir hier einen Reihentausch. Ich weiß nicht, wie du das nennen willst. Man könnte das die Swap-Matrix nennen. Wir tauschten Reihe zwei gegen drei. Und dann haben wir hier die Eliminationsmatrix multipliziert – was haben wir getan? Wir haben das beseitigt, das war Zeile drei, Spalte zwei, 3, 2. Und schließlich,um hierher zu kommen, mussten wir uns mit der Eliminationsmatrix multiplizieren. Wir mussten das hier beseitigen. Also haben wir rowone eliminiert, Spalte drei., Und ich möchte, dass Sie sofort wissen, dass es nicht wichtig ist, was diese Matrizen sind. Ich zeige Ihnen, wie wir diese Matrizen konstruieren können. Aber ich möchte nur, dass Sie einen Glaubensvorsprung haben, dass jede dieser Operationen durch Multiplikation mit einer Matrix hätte durchgeführt werden können. Aber was wir wissen, ist, dass wir durch Multiplizieren mit all diesen Matrizen im Wesentlichen die Identitätsmatrix erhalten haben. Hier hinten. Also die Kombination all dieser Matrizen, wenn Sie sie miteinander multiplizieren, muss dies die inverse Matrix sein. Wenn ich jede dieser Eliminierungs-und Zeilentauschmatrizen multiplizieren würde, muss dies die umgekehrte Matrix von a sein., Denn wenn Sie multiplyall sie mal a, erhalten Sie die inverse. Nun, was ist passiert? Wenn diese Matrizen kollektiv die inverse Matrix sind, wenn ich sie mache, wenn ich die Identitätsmatrix male-die Eliminationmatrix, dieses eine Mal, das dem entspricht. Dieses eine Mal war das anders. Dieses eine Mal war das anders. Und so weiter. Ich multipliziere im Wesentlichen-wenn Sie all dies kombinieren – eine inverse timesthe Identitätsmatrix. Also, wenn du darüber nachdenkst, nur ein großes Bild… und ich will dich nicht verwirren. Es ist an diesem Punkt gut genug, wenn Sie nur verstehen, was ich getan habe., Aber was ich aus all diesen Schritten mache, multipliziere ich im Wesentlichen beide Seiten dieser augmentierten Matrix, könnte man es nennen, mit einer Umkehrung. Also habe ich dies mit ainverse multipliziert, um zur Identitätsmatrix zu gelangen. Aber natürlich, wenn ich multipliziertdie inverse matrix mal die identitätsmatrix, ICH werde getthe inverse matrix. Aber trotzdem will ich dich nicht verwirren. Hoffentlich gibt dir das ein wenig Intuition. Ich werde dies später mit einigen sehr konkreten Beispielen tun., Aber hoffentlich sehen Sie, dass dies viel weniger behaart ist als die Art, wie wir es mit theadjoint und den Cofactors und den Minor Matrices und den Determinants usw. gemacht haben. Wie auch immer, wir sehen uns im nächsten Video.