Binomialerweiterungen und Pascals Dreieck
Der Binomialsatz, der Pascals Dreiecke zur Bestimmung von Koeffizienten verwendet, beschreibt die algebraische Potenzerweiterung eines Binoms.,
Lernziele
Verwenden Sie die Binomformel und das Pascal-Dreieck, um ein Binom auf eine Potenz zu erweitern und die Koeffizienten einer Binomausdehnung zu finden
Binomsatz
Der Binomsatz ist eine algebraische Methode zur Erweiterung eines Binomausdrucks. Im Wesentlichen zeigt es, was passiert, wenn Sie ein Binom von selbst multiplizieren (so oft Sie möchten). Betrachten Sie beispielsweise den Ausdruck (4x+y)^7. Es würde ziemlich lange dauern, das Binom (4x+y) sieben Mal zu multiplizieren., Der Binomialsatz liefert eine Abkürzung oder eine Formel, die die erweiterte Form dieses Ausdrucks ergibt.
Betrachten Sie beispielsweise die folgende Erweiterung:
\displaystyle {(x+y)}^{4}={x}^{4}+4{x}^{3}{y}+6{x}^{2}{y}^{2}+4x{y}^{3}+{y}^{4}
Nach dem Binomialsatz ist es möglich, eine beliebige Potenz von x + y in eine Summe der Form zu erweitern:
wobei jeder Wert \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} eine bestimmte positive Ganzzahl ist, die als Binomialkoeffizient bezeichnet wird. Diese Formel wird als Binomialformel bezeichnet., Unter Verwendung der Summationsnotation kann es wie folgt geschrieben werden:
\displaystyle { (x+y) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ n-k }{ y }^{ k }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ k }{ y} {n-k }
Es kann eine erhebliche Zeitspanne erforderlich sein, um den Binomialsatz anzuwenden und alle Berechnungen in der obigen Formel durchzuführen, insbesondere für hohe Werte von n. Daher folgt eine Verknüpfung zum Auffinden binomialer Erweiterungen mit einem visuellen Werkzeug. ,
Pascal ’s Triangle
Pascal‘ s triangle ist eine alternative Methode zur Bestimmung der Koeffizienten, die bei binomialen Erweiterungen auftreten, indem ein Diagramm anstelle algebraischer Methoden verwendet wird. Für eine Binomexpansion mit einem relativ kleinen Exponenten kann dies ein einfacher Weg sein, um die Koeffizienten zu bestimmen.
Beachten Sie im folgenden Diagramm, dass jede Zahl im Dreieck die Summe der beiden direkt darüber ist. Dieses Muster setzt sich auf unbestimmte Zeit fort.,
Pascal ‚ s Triangle: Jede Zahl in diesem Dreieck ist die Summe der beiden direkt darüber.
Die Zeilen von Pascals Dreieck sind nummeriert, beginnend mit Zeile n = 0 oben. Die Einträge in jeder Zeile sind von links beginnend mit k = 0 nummeriert und in der Regel relativ zu den Zahlen in den benachbarten Zeilen gestaffelt. Eine einfache Konstruktion des Dreiecks verläuft auf folgende Weise. Schreiben Sie in Zeile 0 nur die Nummer 1. Um dann die Elemente der folgenden Zeilen zu erstellen, fügen Sie die beiden obigen Zahlen hinzu, um den neuen Wert zu finden., Wenn eine der oben genannten Zahlen nicht vorhanden ist, ersetzen Sie an ihrer Stelle eine Null. Zum Beispiel ist jede Zahl in Zeile eins 0 + 1 = 1.,
Um zu verstehen, wie dieses Muster auf die Binomialformel zutrifft, betrachten Sie die Erweiterung:
\displaystyle {(x + y)}^{2} = {x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 1{x}^{2}{y}^{0} + 2{x}^{1}{y}^{1} + 1{x}^{0}{y}^{2}
\displaystyle {(x + y)}^{n} = {a}_{0}{x}^{n} + {a}_{1}{x}^{n-1}y +{a}_{2}{x}^{n-2} {y}^{2} + \cdot\cdot\cdot {a}_{n-1}{x}{y}^{n-1} + {a}_{n}{y}^{n}
Beachten Sie, dass die gesamte rechte Diagonale von Pascals dreieck entspricht dem Koeffizienten von y^n in diesen binomialen Erweiterungen, während die nächste Diagonale dem Koeffizienten von xy^{n−1} und so weiter entspricht.,
Beispiel: Finden Sie die Erweiterung von (x+y)^5 mit Pascals Dreieck
Beachten Sie, dass n=5 ist, und denken Sie daran, dass dies Zeile 5 von Pascals Dreieck entsprechen würde.
Pascal ’s Triangle: Pascal‘ s triangle mit 5 Zeilen.,
\displaystyle {(x + y)}^{5} = {a}_{0}{x}^{5} + {a}_{1}{x}^{4}y +{a}_{2}{x}^{3} {y}^{2} + {a}_{3}{x}^2{y}^{3} + {a}_{4}{x}{y}^{4}+{a}_{5}{y}^{5}
\displaystyle {(x + y)}^{5} = {x}^{5} + 5{x}^{4}{y} + 10{x}^{3}{y}^{2} + 10{x}^{2}y^{3} + 5{x}{y}^{4} + {y}^{5}
Binomiale Expansion und faktorielle Notation
Der Binomialsatz beschreibt die algebraische Erweiterung der Kräfte eines Binoms.,
Lernziele
Verwenden Sie die faktorielle Notation, um die Koeffizienten einer Binomialerweiterung zu finden
Erinnern Sie sich, dass der Binomialsatz eine algebraische Methode zum Erweitern eines Binoms ist, das auf eine bestimmte Potenz angehoben wird, z. B. (4x+y)^7., Der Satz wird durch die Formel gegeben:
\displaystyle { (x+y) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ n-k }{ y }^{ k }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ k }{ y }^{ n-k }
Der Koeffizient eines Terms x^{n−k}y^k in einer Binomexpansion kann mit der Kombinationsformel berechnet werden. Denken Sie daran, dass die Kombinationsformel die Anzahl der Möglichkeiten darstellt, k Objekte aus n auszuwählen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Formel besteht aus factorials:
\displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac { n!, }{ k!(n-k)! }
Beispiel: Verwenden Sie die Binomialformel, um die Erweiterung von (x+y)^4 zu finden
Beginnen Sie mit der Substitution von n=4 in die Binomialformel:
\displaystyle (x+y)^4=\sum _{ k=0 }^{ 4 }{ \begin{pmatrix} 4 \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ 4-k }{ y }^{ k }
Um die dazu müssen wir die Summation für alle Werte von k erweitern.
Jetzt müssen wir jede der verbleibenden Kombinationen auswerten:
\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac { 4! }{ 1!(4-1)! } = \frac { 4! }{ 1!3! } = 4
\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac { 4!, }{ 2!(4-2)! } = \frac { 4! }{ 2!2! } = 6
\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac { 4! }{ 3!(4-3)! } = \frac { 4! }{ 3!1! } = 4
Ersetzen dieser ganzen Zahlen in die Erweiterung, wir haben:
\displaystyle (x+y)^4 = { x }^{ 4} + 4 { x }^{ 3}{ y } + 6 { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } + 4 { x }{ y }^{ 3 } + { y }^{ 4 }
Finden eines bestimmten Begriffs
Der rth-Term der binomialen Erweiterung kann gefunden werden mit der Gleichung: { \begin{pmatrix} n \\ r-1 \end{pmatrix} }{ a }^{ n-(r-1) }{ b }^{ r-1 }.,
Lernziele
Üben Sie, einen bestimmten Begriff einer Binomialerweiterung zu finden
Key Takeaways
Key Points
Key Terms
- integer: Ein Element der unendlichen und zahlbaren Menge \ left \{ \cdots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \cdots \right \}.
Lassen Sie uns einige Erweiterungen von Binomen durchgehen, um alle Muster zu berücksichtigen, die in den Begriffen vorhanden sind.,
\displaystyle {(a+b)}^{1}=a+b
\displaystyle {(a+b)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}
\displaystyle {(a+b)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^3
\displaystyle {(a+b)}^{4}={a}^{4}+4{a}^{3}b+6{a}^{2}{b}^{2}+4a{b}^{3}+{b}^4
Einige Dinge sollten beachtet werden:
Wenn die Erweiterung kurz ist, z. B.:
\displaystyle \begin{align} {(x+2)}^{3}&={x}^{3}+2{x}^{2}{2}^{1}+2{x}^{1}{2}^{2}+{2}^{3}\\ &={x}^{3}+4{x}^{2}+8{x}+8 \end{align}
Dann ist es einfach, einen bestimmten Begriff zu finden., Dies wird schwierig und zeitaufwendig, wenn die Expansion groß ist. Es gibt glücklicherweise eine Abkürzung, um bestimmte Begriffe für längere Erweiterungen zu identifizieren. Die folgende Formel ergibt den rth-Term in der Erweiterung:
\displaystyle { \begin{pmatrix} n \\ r-1 \end{pmatrix} }{ a }^{ n-(r-1) }{ b }^{ r-1 }
Denken Sie daran, dass die Kombinationsformel eine Möglichkeit zur Berechnung von \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} bietet:
\displaystyle {\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} {pmatrix}=\frac {n!}{(n-k)!k!, }}
Beispiel: Finde den fünften Term von {(3x-4)}^{12}
\displaystyle { \begin{pmatrix} 12 \\ 5-1 \end{pmatrix} }{ (3x) }^{ 12-(5-1) }{ (-4) }^{ 5-1 }
\displaystyle { \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} }{ (3x)}^{ 8 }{ (-4) }^{ 4 }
Denken Sie daran, \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} mit der Kombinationsformel auszuwerten:
\displaystyle \begin{align} \frac{n!}{(n-k)!k! }&=\frac{12!}{(12-4)!4!, }\\ &=495 \end{align}
Subbing in \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}=495 in der Formel haben wir:
\displaystyle 495 {(3x)}^{ 8 }{ (-4) }^{ 4 }
Wenn die Leistung auf die Terme angewendet wird, lautet das Ergebnis:
\displaystyle 495\cdot 6561{x}^{8} \cdot 256 =831409920{x}^{8}
Somit ist der fünfte Term von {(3x-4)}^{12} 831409920{x}^{8}.