Die PEMDAS Paradox

Es sieht trivial, aber es geht viral. Welche Antwort erhalten Sie, wenn Sie berechnen? Diese Frage hat jede Ecke der sozialen Medien erreicht und Millionen von Menschen mit zwei gemeinsamen Antworten antworten lassen: und .

Sie könnten denken, dass die eine Hälfte dieser Leute Recht hat und die andere Hälfte ihre Arithmetik überprüfen muss. Aber es spielt sich nie so ab; Die Befragten auf beiden Seiten verteidigen ihre Antworten mit Zuversicht., Es gab keine formalen mathematischen Veröffentlichungen überdas Problem, aber eine wachsende Anzahl von Mathematikern kann erklären, was los ist: ist kein genau definierter Ausdruck.

Gut definiert ist ein wichtiger Begriff in der Mathematik. Es bedeutet im Wesentlichen, dass ein bestimmter inputalways die gleiche Ausgabe liefert. Alle Mathematiklehrer sind sich einig, dass und dass . Die zusätzlichen Klammern (Klammern) entfernen die Mehrdeutigkeit und diese Ausdrücke sind gut definiert., Die meisten anderen viralen Mathematikprobleme, wie (siehe hier), sind gut definiert, mit einer richtigen Antwort und einer (oder mehreren) häufigen fehlerhaften Antwort(en). Aber die Berechnung des Wertes von theexpression , ist eine Frage der Konvention. Weder die Antwort noch ist falsch; Es hängt davon ab, was Sie von Ihrem Mathematiklehrer gelernt haben.,

Die Reihenfolge, in der mathematische Operationen ausgeführt werden sollen, wird durch die verschiedenen gegebenmemonien PEMDAS, BODMAS, BIDMAS und BEDMAS:

• P (oder B): Berechnen Sie zuerst den Wert von Ausdrücken in Klammern (Klammern);
• E (oder O oder I): Berechnen Sie als nächstes alle Exponenten (Ordnungen/Indizes);
• MD (oder DM): Führen Sie als nächstes alle Multiplikationen und Divisionen aus, die von links nach rechts arbeiten;
• AS: und schließlich alle Additionen und Subtraktionen ausführen, von links nach rechts arbeiten.,

Zwei leicht unterschiedliche Interpretationen von PEMDAS (oder BODMAS usw.) wurden auf der ganzen Welt gelehrt, und das PEMDAS-Paradoxon unterstreicht ihren Unterschied. Beide Seiten sind sehr beliebt und es gibt derzeit keinen Standard für die Konvention worldwide.So sie können diese Twitter-Diskussion stoppen und sicher sein, dass jeder von Ihnen richtig sein könnte, sich daran zu erinnern, was Ihnen beigebracht wurde – es ist nur so, dass Sie anders unterrichtet wurden.,

Die beiden Seiten

Mechanisch neigen die Leute auf der „9“ – Seite – wie im meistbeliebtesten YouTube-Video zudiese Frage-dazu, zu berechnen, oder vielleicht schreiben sie es als . Die Leute auf dieser Seite neigen dazu zu sagen, dass jederzeit durch ersetzt werden kann. Es kann darauf reduziert werden: Die Lehre, dass“ immer austauschbar mit „ist, bestimmt die Antwort des PEMDAS-Paradoxons als .,

Auf der „1“ – Seite berechnen einige Leute , während andere auf die Verteilungseigenschaft hinweisen. Das treibende Prinzip auf dieser Seite ist, dass die implizite Multiplikation über Nebeneinander Vorrang hat. Dies wurde in Mathe-Klassenzimmern auf der ganzen Welt unterrichtet und ist auch eine erklärte Konvention in einigen Programmierkontexten. Die Lehre, dass „ immer mit “ austauschbar ist, bestimmt hier die PEMDAS-paradoxe Antwort als .,

Mathematisch ist es inkonsistent, gleichzeitig zu glauben, dass mit austauschbar ist und dass mit austauschbar ist. Denn dann folgt, dass über die Argumente in den vorhergehenden Absätzen. Zu diesem Widerspruch zu gelangen, ist logisch und zeigt einfach, dass wir nicht beide Antworten haben können. Es beleuchtet auch die Tatsache, dass keine dieser Interpretationen PEMDAS innewohnt., Beide sind subtile zusätzliche Regeln, die entscheiden, was mit Syntaxkuriositäten wie zu tun ist, und daher ergibt die Annahme keiner von ihnen die formale mathematische Schlussfolgerung, dass nicht gut definiert ist. Dies ist auch der Grund, warum Sie sich nicht zufriedenstellend „korrigieren“ können: Ihre Methoden sind logisch inkompatibel.

Die Meinungsverschiedenheit destilliert sich also so: Fühlt es sich an, als ob immer mit austauschbar sein sollte?, Oder fühlt es sich so an, als ob immer mit austauschbar sein sollte? Du kannst nicht beides sagen.

In der Praxis reagieren viele Mathematiker und Wissenschaftler auf das Problem, indem sie“ unklare Syntax, braucht mehr Klammern “ sagen und erklären, warum es mehrdeutig ist, was im Wesentlichen istdie richtige Antwort. Ein berüchtigtes Bild zeigt zwei verschiedene Casio-Rechner nebeneinandergeben Sie die Eingabe und zeigen Sie die beiden verschiedenen Antworten., Obwohl „Syntaxfehler“ wohl die beste Antwort wäre, die ein Taschenrechner für dieses Problem geben sollte, ist es nicht überraschend, dass sie versuchen, die Mehrdeutigkeit in Einklang zu bringen, und das ist in Ordnung. Aber für uns Menschen müssen wir, wenn wir feststellen, dass auf beide Konventionen große Teile der Welt folgen, den Schluss ziehen, dass derzeit nicht genau definiert ist.

Unterstützung für beide Seiten

Es ist eine Tatsache, dass Google, Wolfram und viele Taschenrechner die Antwort von 9 geben.Die Antworten der Rechner hier werden natürlich durch ihre Eingabemethoden bestimmt., Taschenrechner sind offensichtlich nicht die besten Richter für das PEMDAS-Paradoxon. Sie spiegeln einfach die aktuelle Meinungsverschiedenheit über das Problem wider: Taschenrechner-Programmierer sind sich dieses genauen Problems weitgehend bewusst und wissen bereits, dass es nicht weltweit standardisiert ist, also wenn Mathematiklehrer allunified auf eine Antwort, dann würden diese Programmierer folgen.

Betrachten Sie Wolfram Alpha, die Website, die eine Antwort-Engine bietet (wie eine Suchmaschine, aber anstatt Links zu Webseiten, bietet es Antworten auf Fragen, insbesondere Mathematik Fragen)., Es interpretiert als , interpretiert als und interpretiert als die Linie durch den Ursprung mit Steigung ein Drittel. Alle drei sind im programmatischen Sinne konsistent miteinander, aber die beiden letzteren fühlen sich für viele Beobachter seltsam an. Normalerweise, wenn jemand , meinen sie , und wenn sie sagen wollten, hätten sie geschrieben.,

Im Gegensatz dazu Eingabe in Wolfram Alpha und es ergibt die sinusförmige , anstatt die Linie durch den Ursprung mit Steigung . Dieses Beispiel weicht von den vorherigen Beispielen in Bezug auf die Regel “ ist austauschbar mit „, zugunsten einer besseren Erfassung der offensichtlichen Absicht der Eingabe. Wolfram ist nur ein Algorithmus, der schwach versucht, die Bedeutung seiner sensorischen Eingaben herauszufinden., Irgendwie wie unser Gehirn. Wie auch immer, die Eingabe von wird als „sechs über cubed“ interpretiert, so dass Wolfram eindeutig nicht die Autorität ist, hässliche Syntax zu korrigieren.

Auf der „1“ – Seite erklärt ein kürzlich veröffentlichtes exzellentes Video von Jenni Gorham, einer Mathematiklehrerin mit einem Abschluss Inphysik, mehrere reale Beispiele, die diese Interpretation unterstützen. Sie verweist auf zahlreiche Gelegenheiten, in denen Wissenschaftler schreiben, um zu bedeuten . In der Tat finden Sie zahlreiche Beispiele dafür in Chemie -, Physik-und Mathematiklehrbüchern. Ms., Gorham und ich haben über das PEMDAS-Paradoxon geantwortet, und sie befürwortet formell, das Problem nicht genau definiert zu nennen, und weist gleichzeitig auf die Notwendigkeit einer Konsenskonvention im Interesse der Berechnerprogrammierung hin. Sie argumentiert, dass die Konsensantwort 1 sein sollte, da der Vorrang der impliziten Multiplikation mit der Gegenüberstellung in diesen formalen Kontexten in den meisten Teilen der Welt die Konvention war.

Das große Ganze

Es sollte darauf hingewiesen werden, dass Konventionen nicht vereinheitlicht werden müssen., Wenn zwei meiner Studentenarguierten, ob die am wenigsten natürliche Zahl 0 oder 1 ist, würde ich keinen von ihnen falsch nennen, oder würde ich Probleme mit dem Mangel an weltweiter Übereinstimmung in dieser Angelegenheit haben. Wolfram weiß, dass die Frage zwischen zwei Antworten aufgeteilt ist, und das Leben geht weiter. Wenn jeder, der sich interessiert, einfach lernt, dass das PEMDAS-Paradoxon auch zwei populäre Antworten hat (und somit selbst keine gut definierte Frage ist), dann sollte das zufriedenstellend sein.

Hoffentlich ist es nach dem Lesen dieses Artikels befriedigend zu verstehen, wie ein Problem, das sobasisch aussieht, einzigartig geblieben ist., Im wirklichen Leben sollten Sie mehr Klammern verwenden und Mehrdeutigkeiten vermeiden. Und hoffentlich ist es nicht allzu beunruhigend, dass Mathematiklehrer weltweit auf dieser Konvention gespalten sind, da dies nicht sehr selten und nicht wirklich problematisch ist, außer vielleicht für Taschenrechner-Programmierer.

Für Leser, die mit der Tiefe dieses Artikels nicht vollständig zufrieden sind, wird mein bisheriger Muchlonger-Artikel Sie vielleicht nicht enttäuschen., Es geht weiter ins Detail, um die Formalitäten der Logischenkonsistenz der beiden Methoden, sowie die Geschichte des Problems und meine Erfahrung damit.

Über den Autor

David Linkletter ist Doktorand an der University of Nevada, Las Vegas, USA. Seine Forschung ist in der Mengenlehre-große Kardinäle. Er unterrichtet auch Undergraduate-Klassen an der UNLV; seine Lieblingsklasse zu unterrichten ist Diskrete Mathematik.