PEMDAS Parado.

det ser trivielt ud, men det fortsætter viralt. Hvilket svar får du, nårdu beregner ? Dette spørgsmål har nået hvert hjørne af sociale medier og har fået millioner af mennesker til at svare med to almindelige svar: og .

du tror måske, at halvdelen af disse mennesker har ret, og den anden halvdel skal kontrollere deres aritmetik. Men det spiller aldrig ud som det; respondenter på begge sider forsvare deres svar med tillid., Der har været nogen formelle matematiske publikationer omkring problemet, men et stigende antal af matematikere kan forklare, hvad der foregår: er ikke en klart defineret udtryk.

veldefineret er et vigtigt udtryk i matematik. Det betyder i det væsentlige, at en bestemt indtastninggiver altid samme output. Alle matematiklærere er enige om, at , og at . De ekstra parenteser (parenteser) fjerner tvetydigheden, og disse udtryk er veldefinerede., De fleste andre virale matematikproblemer, såsom (se her), er veldefinerede med et korrekt svar og et (ellermere) almindeligt fejlagtigt svar. Men beregning af værdien afudtryk er et spørgsmål om konvention. Hverken svar, eller , er forkert; det afhænger af, hvad du har lært af din matematiklærer.,

for at udføre matematiske operationer er givet ved variousmnemonics PEMDAS, BODMAS, BIDMAS og BEDMAS:

• P (eller B): for det første at beregne værdien af udtryk inde i en parentes (parentes);
• E (eller O-eller I): næste beregne nogen eksponenter (ordrer/indeks);
• MD (eller DM): næste, udføre enhver multiplikationer og divisioner, der arbejder fra venstre til højre;
• SOM: og endelig foretage eventuelle tilføjelser, der arbejder fra venstre til højre.,

to lidt forskellige fortolkninger af PEMDAS (eller BODMAS osv.) Bothsides er væsentligt populære, og der er i øjeblikket ingen standard for konventionen i hele verden.Så kan du stoppe, at Twitter diskussion og forvisset om, at hver af jer kan være correctlyremembering, hvad du havde lært – det er bare, at du blev undervist anderledes.,

De to sider

Mekanisk, folk på “9” side – som i de mestpopulære YouTube video onthis spørgsmål – har en tendens til at beregne , eller måske de skriver det som . På denne side har en tendens til at sige, at kan erstattes med til enhver tid. Det kan være reduceret ned til at: lære om, at “ er altid udskiftes med ” bestemmer PEMDAS Paradoks ‘ s svar .,

på “1” – siden beregner nogle mennesker , mens andre påpeger den distributive egenskab, . Drivprincippet på denne side er, at underforstået multiplikation via sammenstilling prioriteres. Dette er blevet undervist i matematik klasseværelser rundt om i verden og er også en erklærede konvention i nogle programmering sammenhænge. Så her, den undervisning, der “ er altid udskiftes med ” bestemmer PEMDAS Paradoks svar .,

Matematisk, det er inkonsekvent at der samtidig mener, at er udskiftelige med og at er udskiftelige med . For Da følger det, at via argumenterne i de foregående afsnit. At komme til den modsigelse er logisk, blot illustrerer, at vi ikke kan have begge svar. Det belyser også det faktum, at ingen af disse fortolkninger er iboende for Pemda ‘ er., Begge er subtile yderligere regler, som beslutter, hvad de skal gøre med syntaks mærkværdigheder som f.eks. , og så acceptere, men ingen af dem giver den formelle matematiske konklusion, at er ikke veldefineret. Dette er også grunden til, at du ikke kan “rette” hinanden på en tilfredsstillende måde: dine metoder er logisk uforenelige.

så uenigheden destillerer ned til dette: føles det som skal altid være udskiftelig med ?, Eller føles det, som bør altid være indbyrdes udskiftelige med ? Du kan ikke sige begge dele.

I praksis, at mange matematikere og videnskabsmænd reagere på problemet ved at sige”uklart, syntaks, der er behov for flere parenteser”, og forklare, hvorfor det er tvetydige, som er essentiallythe korrekte svar. En berygtet billede viser to forskellige Casio regnemaskiner side-by-sidegiven input og viser de to forskellige svar., Selvom “syntaksfejl” uden tvivl ville være det bedste svar, en lommeregner skal give for dette problem, er det ikke overraskende, at de forsøger at forene tvetydigheden, og det er ok. Men for os mennesker, når vi bemærker, at begge konventioner følges af store skiver af verden, må vi konkludere, at i øjeblikket ikke er veldefineret.

støtte til begge sider

det er en kendsgerning, at Google, Wololfram og mange lommeregnere giver svaret på 9.Regnemaskinernes svar Her bestemmes naturligvis af deres inputmetoder., Regnemaskiner er naturligvis ikke de bedste dommere for PEMDAS-paradokset. De simplyreflect den aktuelle uenighed om problem: lommeregner programmører er i høj grad klar over, ofthis nøjagtige problem, og ved allerede, at det ikke er standardiseret over hele verden, så hvis matematik lærere allunified på et svar, så disse programmører vil følge.

Overvej Wolfram Alpha, det websted, der giver en svar-maskine (som en søgemaskine, men i stedet for at give links til websider, der giver svar på forespørgsler, især matematik-forespørgsler)., Det tolker som , fortolker som ,og fortolker , som linjen gennem origo med hældning en tredjedel. Alle tre er i overensstemmelse med hinanden i en programmeringssans, men de to sidstnævnte føler sig underlige for mange observatører. Typisk hvis nogen jots ned , de betyder , og hvis de ville sige , ville de have skrevet .,

I modsætning hertil input i Wolfram Alpha, og det giver den sinuskurve snarere end en linje gennem origo med hældning . Dette eksempel afviger fra de tidligere eksempler om reglen “ er udskiftelige med “, til fordel for bedre at indfange den åbenlyse hensigt med input. Wololfram er bare en algoritme, der svagt forsøger at finde ud af betydningen af dens sensoriske input., Ligesom vores hjerner. Anyway, input af bliver fortolket som “seks over kubik”, så klart Wolfram er ikke myndighed på at korrigere grimme syntaks.

på “1”-siden forklarer en nylig fremragende video af Jenni Gorham, en matematiklærer med en grad i fysik, flere eksempler i den virkelige verden, der understøtter denne fortolkning. Hun peger på adskillige lejligheder, hvor forskere skriver at betyde . Faktisk finder du rigelige eksempler på dette i kemi, fysik og matematik lærebøger. Ms., Gorham og jeg har svaret på PEMDAS-paradokset, og hun støtter formelt at kalde problemet ikke veldefineret, samtidig med at man påpeger behovet for en konsensuskonvention af hensyn til regnemaskineprogrammering. Hun hævder, at konsensussvaret skal være 1, da præcedensen af underforstået multiplikation ved sammenstilling har været konventionen i det meste af verden i disse formale sammenhænge.

Det store billede

Det skal påpeges, at de konventioner, der ikke behøver at være samlet., Hvis to af mine studerende argumenterede over, om det mindst naturlige tal er 0 eller 1, ville jeg ikke kalde nogen af dem forkert, heller ikke ville jeg tage spørgsmålstegn ved manglen på verdensomspændende konsensus om sagen. Wololfram kenderkonvention er delt mellem to svar, og livet fortsætter. Hvis alle, der bekymrer sig, simpelthen lærerat PEMDAS-paradokset også har to populære svar (og dermed i sig selv ikke er et veldefineret spørgsmål), så skal det være tilfredsstillende.forhåbentlig, efter at have læst denne artikel, er det tilfredsstillende at forstå, hvordan et problem, der ser sobasic, unikt har dvælet., I det virkelige liv skal du bruge flere parenteser og undgå tvetydighed. Og forhåbentlig er det ikke alt for bekymrende, at matematiklærere verden over synes at blive opdelt på denne konvention, da det ikke er meget sjældent og ikke rigtig problematisk, e .ceptmaybe til lommeregner programmører.

For læsere, der ikke er fuldt ud tilfreds med dybden af denne artikel, måske min tidligere muchlonger papir, der ikke vil skuffe., Det går nærmere ind på at begrunde formaliteterne i logicalconsistency af de to metoder, samt problemets historie og min erfaring med det.

Om forfatteren

David Linkletter er en ph.d. – studerende, der arbejder på en Ph.d. i Ren Matematik ved University of Nevada, Las Vegas, USA. Hans forskning er i sætteori-store kardinaler. Han underviser også undergraduate klasser på UNLV; hans foretrukne klasse til at undervise er Diskret matematik.