Jeg vil nu vise dig min foretrukne måde at finde en omvendt af en 3 til 3 Matri.. Og jeg synes faktisk, det er meget sjovere. Og du er mindre tilbøjelig til at lave skødesløse fejl. Men hvis jeg husker rigtigt fra algebra 2, lærte de det ikke på denne måde i Algebra 2. Og derfor lærte jeg den anden vej oprindeligt. Men lad os gennemgå dette. Og i en fremtidig video vil jeglære dig, hvorfor det virker. Fordi det altid er vigtigt., Men i lineær algebra er dette et af de få emner, hvor jeg synes, det er meget vigtigtlære at gøre operationerne først. Og senere lærer vi hvorfor. Fordi hvordan ermeget mekanisk. Og det involverer virkelig barenogle grundlæggende aritmetiske for det meste. Men hvorfor har tendens til atvære ret dybt. Så jeg forlader det til senere videoer. Og du kan ofte tænke pådybden af ting, når du har tillid til, at du mindst forstår Ho .s. Så alligevel, lad os gå tilbage til vores oprindelige Matri.. Og hvad var den originalematri?, som jeg gjorde I den sidste video? Det var 1, 0, 1, 0,2, 1, 1, 1, 1., Og vi ønskede at findeinverse af denne Matri.. Så det er, hvad vi kommer til at gøre. Det hedder Gauss-Jordaneliminering, for at finde Matri theens inverse. Og den måde du gør det på – og det kan virke lidt som magi, det kan virke lidt som voodoo, men jeg tror, du vil se i fremtidige videoer, det giver meget mening. Hvad vi gør, er at vi forstærker denne Matri.. Hvad betyder augment? Det betyder, at vi bare tilføjer noget til det. Så jeg tegner en skillelinje. Så hvis jeg sætter en skillelinje her. Og hvad sætter jeg på den andenside af skillelinjen?, Jeg sætter identitetsmatriofenaf samme størrelse. Dette er 3 af 3, så jeg sætter a3 af 3 identitetsmatri.. Så det er 1, 0, 0,0, 1, 0, 0, 0, 1. Okay, så hvad skal vi gøre? Hvad jeg skal gøre er at udføreen række elementære rækkeoperationer. Og jeg er ved at fortælle dig hvader gyldige elementære rækkeoperationer på denne Matri.. Men uanset hvad jeg gør med nogen af disse rækker her, må jeg gøre med de tilsvarende rækker her. Og mit mål er i det væsentlige atudføre en masse operationer på venstre side., Og selvfølgelig vil de sammeoperationer blive anvendt på højre side, så jeg til sidst ender med identitetsmatri theen på venstre side. Og så når jeg har identity Matri.på venstre side, hvad jeg har tilbage på højre side vil være den inverse af denne oprindelige Matri.. Og når dette bliver anidentity Matri., kaldes det faktisk reducedro. echelon form. Og jeg vil tale mere om det. Der er mange navne ogmærker i lineær algebra. Men de er virkelig bare retfærdigtenkle begreber. Men alligevel, lad os komme i gangog dette skulle blive lidt klart., I det mindste processenvil blive klart. Måske ikke hvorfor det virker. Så først og fremmest sagde jeg, at jeg skal udføre en masse operationer her. Hvad er legitimereoperationer? De kaldes elementaryro.operationer. Så der er et par ting, jeg kan gøre. Jeg kan erstatte enhver rowithwithith at rækken ganget med nogle tal. Så jeg kunne gøre det. Jeg kan bytte to rækker. Og selvfølgelig, hvis jeg bytter sige den første og anden række, jeg bliver nødt til at gøre det her også. Og jeg kan tilføje eller trække enrække fra en anden række. Så når jeg gør det-så fore soample, kunne jeg tage denne række og erstatte den med thisro.tilføjet til denne række., Og du vil se, hvad Imean i den anden. Og du ved, hvis du kombinerer det, du kunne du kunne sige, godt jeg har tænkt mig at flere thisro.gange negativ 1, og tilføje det til denne række, og erstatte denne række med at. Så hvis du begynder at føle dig somDette er noget som det, du lærte, da du lærte at løse systemer af lineære ligninger, det er ikke tilfældigt. Fordi matricer er faktisken meget god måde at repræsentere det på, og det vil jeg vise dig snart. Men alligevel, lad os gøre someelementary ro.operationer for at få denne venstre side intoreduced række echelon form., Hvilket er virkelig bare en fancy måde at sige, Lad os gøre det til identitetsmatri theen. Så lad os se hvadvi vil gøre. Vi vil have 1 ‘ all over her. Vi ønsker, at disse skal være 0 ‘ er. lad os se, hvordan vi kan gøre det effektivt. Lad mig tegne Matri theen igen. Så lad os få en 0 her. Det ville være belejligt. Så jeg vil holde toppen to rækker ens. 1, 0, 1. Jeg har min skillelinje. 1, 0, 0. Jeg har ikke gjort noget der. Jeg gør ikke nogettil anden række. 0, 2, 1. 0, 1, 0. Og hvad jeg har tænkt mig at gøre, jeg kommer til at erstatte denne række – og bare så du kender mymotivation, mit mål er at få en 0 her., Så jeg er lidt tættere på at have identitetsmatri theen her. Så hvordan får jeg en 0 her? Hvad jeg kunne gøre, er at jeg kan erstattedenne række med denne række minus denne række. Så jeg kan erstatte den tredjerække med den tredje række minus den første række. Så hvad er den tredje rominminus den første række? 1 minus 1 er 0. 1 minus 0 er 1. 1 minus 1 er 0. Nå jeg gjorde det på venstre side, så jeg er nødt til at gøre det på højre side. Jeg er nødt til at erstatte dette med dette minus dette. Så 0 minus 1 er minus 1. 0 minus 0 er 0. Og 1 minus 0 er 1. Fair nok. Hvad kan jeg nu gøre?, Nå denne række lige her, denne tredje række, Det har 0 og 0 – Det ligner meget, hvad jeg vil have til min anden række i identitetsmatri theen. Så hvorfor bytter jeg ikke bare disse to rækker? Hvorfor bytter jeg ikke bare første og anden række? Så lad os gøre det. Jeg vil bytte den førsteog anden række. Så de første rækkerholder det samme. 1, 0, 1. Og så bliver den anden sideDet samme også. Og jeg bytter den anden og tredje række. Så nu er min anden roisis nu 0, 1, 0. Og jeg er nødt til at bytte den på højre side. Så det er minus 1, 0, 1. Jeg bytter bare de to., Så så min tredje række nubliver hvad den anden række var her. 0, 2, 1. Og 0, 1, 0. Fair nok. Hvad vil jeg nu gøre? Nå ville det være rart, hvis jeg havde en 0 lige her. Det ville få mig så meget tættere på identitetsmatri theen. Så hvordan kunne jeg komme som 0 her? Hvad nu hvis jeg subtraherede 2gange række to fra række en? Fordi dette ville være,1 gange 2 er 2. Og hvis jeg trækker det fra dette, får jeg en 0 her. Så lad os gøre det. Så den første række harbet meget heldig. Det har ikke været nødvendigt. Den sidder bare der. 1, 0, 1, 1, 0, 0. Og den anden række er ikkeændre sig for nu. Minus 1, 0, 1., Hvad sagde jeg nu, jeg ville gøre? Jeg skal trække 2 gangesro.t .o fra række tre. Så dette er 0 minus2 gange 0 er 0. 2 minus 2 gange 1, Det er 0. 1 minus 2 gange 0 er 1. 0 minus 2 gange negativ 1 er–så lad os huske 0 minus 2 gange negativ 1. Så det er 0 minus negative2, så det er positivt 2. 1 minus 2 gange 0. Nå det er bare stadig 1. 0 minus 2 gange 1. Så det er minus 2. Har jeg gjort det rigtigt? Jeg vil bare være sikker. 0 minus 2 gange — højre, 2 gange minus 1 er minus 2. Og jeg trækker det fra, så det er plus. Okay, så jeg er tæt på., Dette ligner næsten denidentitet Matri.eller reduceret række echelon form. Bortset fra denne 1 lige her. Så jeg vil endelig haveat røre den øverste række. Og hvad kan jeg gøre? Nå, hvad med at jeg erstatter topro?med den øverste række minus den nederste række? For hvis jeg trækker dette fra det, får dette en 0 der. Så lad os gøre det. Så jeg erstatter topro.med den øverste række minus den tredje række. Så 1 minus 0 er 1. 0 minus 0 er 0. 1 minus 1 er 0. Det var hele vores mål. Og så 1 minus 2er negativ 1. 0 minus 1 er negativ 1. 0 minus minus 2., wellellthat er positiv 2., Og så de andre rækkerbliv det samme. 0, 1, 0, minus 1, 0, 1. Og så 0, 0, 1, 2,1, negativ 2. Og der har du det. Vi har udført en seriesof operationer på venstre side. Og vi har udført de samme operationer på højre side. Dette blev identitymatri., eller reduceret række echelon form. Og vi gjorde dette ved hjælp af Gauss-Jordan eliminering. Og hvad er det? Nå dette er den inverse afdenne originale Matri.. Denne gang vil dette svare tilidentitetsmatri .en. Så hvis dette er en, enddette er en omvendt. Og det er alt, hvad du skal gøre., Og som du kunne se, tog dette halvdelen af tiden og krævede meget mindre mejeri matematik end da jeg gjorde det ved hjælp af adjoint og cofaktorerne og determinanten. Og hvis du tænker over det, vil jeg give dig et lille tip om, hvorfor dette fungerede. Hver eneste af disse operationer jeg gjorde på venstre side, du kunne slags se dem som flere gange – du ved,for at komme herfra til her, multiplicerede jeg. Du kan slags sige detder er en Matri.. At hvis jeg multiplicerede med detmatri., ville det have udført denne operation. Og så ville jeg have haft detmultiplicere med en anden Matri.for at udføre denne operation., Så det væsentlige, hvad vi gjorde, ervi ganget med en række matricer for at komme her. Og hvis du multiplicerede alleaf dem, hvad vi kalder eliminationsmatricer, sammen, multiplicerer du i det væsentlige denne gangeDet inverse. Så hvad siger jeg? Så hvis vi har en, at gå fraher til her, vi er nødt til at formere sig en gangeliminering Matri.. Og dette kan være helt forvirrende for dig, så ignorer det, hvis det er, men det kan være indsigtsfuldt. Så hvad eliminerede VII dette? Vi eliminerede 3, 1. Vi multiplicerede medelimineringsmatri.3, 1, For at komme her. Og så, for at gå herfra til her, vi har ganget med nogle Matri.., Og jeg vil fortælle dig mere. Jeg vil vise dig, hvordan vi kan konstruere disse elimination matricer. Vi multiplicerer med en elimineringmatri.. Nå faktisk, vi havde en række bytte her. Jeg ved ikke, hvad du vil kalde det. Du kunne kalde det s .ap Matri.. Vi byttede række to til tre. Og her multiplicerede vi med eliminationsmatri? – hvad gjorde vi? Vi eliminerede dette, sådette var række tre, kolonne to, 3, 2. Og så endelig,for at komme her, måtte vi formere os med eliminationsmatri.. Vi måtte fjerne det her. Så vi eliminerede rooneone, kolonne tre., Og jeg vil have dig til at vide rightno.at det ikke er vigtigt, hvad disse matricer er. Jeg vil vise dig, hvordan vi kankonstruere disse matricer. Men jeg vil bare have dig til at have en god tro på, at hver af disse operationer kunne have været udført ved at multiplicere med en eller anden Matri.. Men hvad vi ved er vedmultiplying af alle disse matricer, vi væsentlige gotthe identity Matri.. Heromme. Så kombinationen af alle afdisse matrieser, når du multiplicerer dem med hinanden, skal dette være den inverse Matri.. Hvis jeg skulle multiplicere hver af disse eliminerings-og rækkebyttematricer, skal dette være den inverse Matri.af a., Fordi hvis du multiplyall dem gange en, du får den inverse. Hvad skete der? Hvis disse matricer er collectively den inverse Matri., hvis jeg gør dem, hvis Imultiply identity Matri. gange dem-eliminationmatri., denne ene gang det svarer til det. Denne ene gang svarer det til det. Denne ene gang svarer det til det. Og så videre. Jeg multiplicerer i det væsentlige-når du kombinerer alle disse-en omvendt timesthe identity Matri.. Så hvis du tænker over det bare meget stort billede – og jeg vil ikke forvirre dig. Det er godt nok til dette punkt, hvis du lige forstod, hvad jeg gjorde., Men hvad jeg gør fra alle disse trin, multiplicerer jeg i det væsentlige begge sider af denne augmented Matri., du kan kalde det, ved en omvendt. Så jeg multiplicerede dette med ainverse for at komme til identitetsmatri theen. Men selvfølgelig, hvis jeg multiplicerede den inverse Matri.gange identitetsmatri theen, får jeg den inverse Matri.. Men jeg vil ikke forvirre dig. Forhåbentlig vil det give dig en lille intuition. Jeg gør det senere med noglemere konkrete eksempler., Men forhåbentlig ser du, at dette er meget mindre Behåret end den måde, vi gjorde det med den fælles og cofaktorerne og de mindre matricer og determinanter, et cetera. Any .ay, vi ses i den næste video.