ved udgangen af den sidste episode havde vi bevist, at de indvendige vinkler i en trekant altid tilføjer op til 180 grader. Eller sådan virkede det. I sidste ende udfordrede jeg dig til at prøve din hånd på et projekt med en ballon, der forhåbentlig tvang dig til at stille spørgsmålstegn ved denne konklusion.
tog du mig op på den udfordring og prøvede projektet? Hvis ikke, er det ikke for sent at prøve det. Og det skal du bestemt, da det vil tvinge dig til at tænke på spørgsmål som “Hvor mange grader er der i en trekant?,”og” krydser parallelle linjer nogensinde?”på en helt ny måde .
hvorfor er det? Det viser sig, at den slags geometri, du lærte i skolen, ikke er den eneste slags geometri. Og som en simpel ballon kan vise dig, er implikationerne af denne anden form for geometri temmelig overraskende.
.
balloner, trekanter og vinkler
for et par måneder siden fik min datter sin første ballon på sin første fødselsdagsfest. Lige siden den dag er balloner blevet næsten den mest fantastiske ting i hendes verden., Efter hendes fest, hun besluttede at kalde sin ballon “ba,” og nu er stort set alt, hvad der er rundt, også blevet kaldt “ba.”En bold? A ” ba.”Månen? Yep, også en ” ba.”
hvorfor besluttede hun at balloner—og alle andre runde genstande—er så fascinerende? Jeg kan være forudindtaget i denne tro, men jeg er kommet til den konklusion, at det er, fordi de er så gode til at demonstrere nogle fantastiske egenskaber af, hvad der kaldes ikke-Euklidisk geometri. OK,det er næsten helt sikkert ikke sandt … men matematikfanen i mig vil gerne tro det.,
som jeg beskrev sidste gang, kan du få et glimt af en af disse egenskaber ved at udføre et simpelt matematik-og-håndværksprojekt. Alt du skal gøre er at få en uinflateret ballon, læg den på en plan overflade og tegne så tæt på en perfekt trekant på den som du kan. Hvis du har en gradskive, ville det være et godt tidspunkt at måle sine vinkler og sørg for at tilføje op til ca 1800.
spræng nu ballonen op og kig på din engang perfekte trekant. Hvad skete der med den? Har dens vinkler stadig tilføje op til 1800?, For at forstå, hvad du ser, er vi nødt til at tale om forskellene mellem det, der kaldes euklidisk og ikke-euklidisk geometri.
Hvad er euklidisk geometri?
da vi taler om geometri, vil vi først finde ud af, hvad vi mener med “geometri.”Geometri er bredt set matematikens rige, hvor vi taler om ting som punkter, linjer, vinkler, trekanter, cirkler, firkanter og andre former samt egenskaberne og forholdet mellem egenskaberne ved alle disse ting.
den type geometri, vi typisk lærer i skolen, er kendt som euklidisk geometri.,
den type geometri, vi typisk lærer i skolen—og den type geometri, vi normalt tænker på, når vi tænker på “geometri”—er kendt som euklidisk geometri. Hvorfor sådan et rigtigt navn? Euklidisk geometri får sit navn fra den antikke græske matematiker Euclid, der skrev en bog kaldet Elements for over 2.000 år siden, hvor han skitserede, afledte og opsummerede de geometriske egenskaber ved objekter, der findes i et fladt todimensionelt plan. Dette er grunden til euklidisk geometri er også kendt som ” plane geometri.,”
i plane geometri tilføjer trekantens indvendige vinkler op til 1800, to parallelle linjer krydser aldrig, og den korteste afstand mellem to punkter er altid en lige linje.
Hvad er ikke-euklidisk geometri?
men det viser sig, at ikke alt lever i en todimensionel flad verden, og derfor er ikke alt bundet af lovene om Plan euklidisk geometri. For eksempel: du, mig og hele menneskeheden lever på jordens overflade, og Jorden er ikke flad. Det er faktisk en omtrent sfærisk genstand., Hvilket betyder, at reglerne for plane geometri ikke styrer vores liv.
for at forstå, hvad dette betyder, Lad os gå tilbage et øjeblik til balloner. En uinflateret ballon er en flad genstand og lever derfor inden for euklidisk geometri. I denne verden har pænt trukket trekanter 1800. Men så snart du blæser din ballon op, er overfladen ikke længere flad – den bliver sfærisk, og det bringer den ind i det, der er kendt som ikke-euklidisk geometri.,
udtrykket ikke-euklidisk lyder meget fancy, men det betyder virkelig bare enhver form for geometri, der ikke er euklidisk—dvs.der findes ikke i en flad verden. En ikke-euklidisk geometri er en nytænkning og redescription af egenskaberne af ting som punkter, linjer og andre former i en ikke-flad verden. Sfærisk geometri—som er en slags plane geometri skæv på overfladen af en kugle-er et eksempel på en ikke-euklidisk geometri.
ikke-euklidisk geometri i den virkelige verden
i flad plan geometri har trekanter 1800., I sfærisk geometri tilføjer de indvendige vinkler af trekanter altid op til mere end 1800. Du så dette med din oppustede ballon, men du kan også se det ved at tænke på jorden.
i sfærisk geometri tilføjer de indvendige vinkler af trekanter altid op til mere end 1800.forestil dig, at du starter ved Jordens nordpol og går sydpå, indtil du når ækvator. Derefter går du direkte østpå, indtil du rejser 1/4 af vejen rundt om planeten. Endelig vender du tilbage Nord og vender tilbage til Nordpolen., Hvis du tænker over det, vil du se, at den sti, du har rejst, er en trekant på jordens sfæriske overflade. Og den skøre ting er, at alle tre vinkler i denne “trekant” er rette vinkler—så dens indvendige vinkler tilføjer op til 90.3 = 2700.
Her er en anden skør ting: parret af linjer, der repræsenterer de to sider af trekanten, der markerer nord-syd—benene på din rejse, er “parallelle” med hinanden-i den forstand, at de begge løber i nord-syd-retning. Men de krydser ved Nordpolen! Og Sydpolen!, Så selvom de går i samme retning, er de ikke parallelle som de aldrig krydsende parallelle linjer af plane geometri.
og bare hvis det ikke er nok til at få dig til at tro, at ikke-euklidisk geometri er fuld af overraskelser, her er en anden. I et velkendt tilfælde af ” Huh? Hvordan er det muligt?”det viser sig, at den korteste vej at flyve fra Florida til Filippinerne (som i tankerne er på en mere sydlig bredde end Florida) er at flyve over Alaska! Hvordan er det muligt? Jeg vil lade dig tænke over det … men sørg for at tjekke tilbage næste gang for svaret.,
Wraprap up
OK, det er al den matematik, vi har tid til i dag.
sørg for at tjekke min bog, Math Dude ‘ s Quickuick and Dirty Guide to Algebra. Og husk at blive en fan af Math Dude på Facebook, hvor du vil finde masser af gode matematik bogført i løbet af ugen. Hvis du er på T .itter, følg mig der, også.
indtil næste gang er dette Jason Marshall med Math Dude ‘ s hurtige og beskidte Tips til at gøre matematik lettere. Tak for læsning, matematik fans!
Sphere billede venligst udlånt af .