Binomial Udvidelser og Pascal ‘s Trekant
Den binomiale sætning, som bruger Pascal’ s trekant til at bestemme koefficienterne, beskriver algebraisk udvidelse af beføjelser til en binomial.,
læringsmål
Brug den Binomiale Formel og Pascal ‘ s Trekant for at udvide en binomial opløftet til en potens, og finde koefficienterne i en binomial udvidelse
Binomiale Sætning
Den binomiale sætning er en algebraisk metode til at udvide en binomial udtryk. I det væsentlige demonstrerer det, hvad der sker, når du multiplicerer en binomial af sig selv (så mange gange du vil). For eksempel overveje udtrykket (4.+y)^7. Det ville tage lang tid at multiplicere binomialen (4.+y) ud syv gange., Den binomiale sætning giver en genvej eller en formel, der giver den udvidede form af dette udtryk.
For eksempel, kan du overveje følgende udvidelse:
\displaystyle {(x+y)}^{4}={x}^{4}+4{x}^{3}{y}+6{x}^{2}{y}^{2}+4x{y}^{3}+{y}^{4}
Ifølge den binomiale sætning, det er muligt at udvide en potens af x + y til en sum af formen:
hvor hver værdi \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} er en bestemt positivt heltal, der er kendt som binomialkoefficient. Denne formel kaldes Binomialformlen., Hjælp summation notation, det kan skrives som:
\displaystyle { (x+y) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ n-k }{ y }^{ k }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ k }{ y }^{ n-k }
En betydelig mængde af tid kan være forpligtet til at anvende den binomiale sætning og udføre alle beregninger i ovenstående formel, især for høje værdier af n. Derfor, hvad der følger er en genvej til at finde binomial udvidelser ved hjælp af et visuelt værktøj.,
Pascal ‘s Trekant
Pascal’ s trekant er en alternativ måde at bestemme koefficienterne, der opstår i binomial udvidelser, ved hjælp af et diagram, snarere end det algebraiske metoder. For en binomial ekspansion med en relativt lille eksponent kan dette være en ligetil måde at bestemme koefficienterne på.
i diagrammet nedenfor skal du bemærke, at hvert tal i trekanten er summen af de to direkte over det. Dette mønster fortsætter på ubestemt tid.,
Pascals trekant: hvert tal i trekanten er summen af de to direkte over det.
rækkerne i Pascals trekant er nummereret, begyndende med række n = 0 øverst. Posterne i hver række er nummereret fra venstre begyndende med k = 0 og er normalt forskudt i forhold til tallene i de tilstødende rækker. En simpel konstruktion af trekanten fortsætter på følgende måde. Skriv kun nummer 1 på række 0. For at konstruere elementerne i følgende rækker skal du tilføje de to ovenstående tal for at finde den nye værdi., Hvis et af ovenstående tal ikke er til stede, skal du erstatte et nul på dets sted. For eksempel er hvert nummer i række en 0 + 1 = 1.,
for At forstå, hvordan dette mønster gælder for binomial formel, kan du overveje en udvidelse:
\displaystyle {(x + y)}^{2} = {x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 1{x}^{2}{y}^{0} + 2{x}^{1}{y}^{1} + 1{x}^{0} er{y}^{2}
\displaystyle {(x + y)}^{n} = {a}_{0}{x}^{n} + {a}_{1}{x}^{n-1}y +{a}_{2}{x}^{n-2} {y}^{2} + \cdot\cdot\cdot {en}_{n-1}{x}{y}^{n-1} + {a}_{n}{y}^{n}
Bemærk, at hele den højre diagonal af Pascal ‘ s trekant svarer til, at koefficienten til y^n i disse binomial udvidelser, mens den næste diagonal svarer til den koefficient på xy^{n−1}, og så videre.,
eksempel: Find udvidelsen af (5+y)^5 ved hjælp af Pascals trekant
Bemærk at n=5, og husk at dette ville svare til række 5 i Pascals trekant.
Pascal ‘s Triangle: Pascal’ s triangle med 5 rækker.,
\displaystyle {(x + y)}^{5} = {a}_{0}{x}^{5} + {a}_{1}{x}^{4}y +{a}_{2}{x}^{3} {y}^{2} + {a}_{3}{x}^2{y}^{3} + {a}_{4}{x}{y}^{4}+{a}_{5}{y}^{5}
\displaystyle {(x + y)}^{5} = {x}^{5} + 5{x}^{4}{y} + 10{x}^{3}{y}^{2} + 10{x}^{2}y^{3} + 5{x}{y}^{4} + {y}^{5}
Binomial Ekspansion og Faktorielle Notation
Den binomiale sætning beskriver algebraisk udvidelse af beføjelser til en binomial.,
læringsmål
brug faktoriel notation til at finde koefficienterne for en binomial ekspansion
Husk, at binomial sætning er en algebraisk metode til at udvide en binomial, der hæves til en bestemt effekt, såsom (4.+y)^7., Den sætning er givet ved formlen:
\displaystyle { (x+y) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ n-k }{ y }^{ k }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ k }{ y }^{ n-k }
Den koefficient, som er en udtrykket x^{n−k}y^k i en binomial udvidelse kan beregnes ved hjælp af en kombination formel. Husk at kombinationsformlen repræsenterer antallet af måder at vælge k-objekter blandt n, hvor ordren ikke betyder noget. Formlen består af faktorer:
\displaystyle \begin{pmatri!} n \\ k \end{pmatri!} = \frac { n!, }{ k!(n-k)! }
Eksempel: Brug binomial formel til at finde den udvidelse af (x+y)^4
Start ved at erstatte n=4 i binomial formel:
\displaystyle (x+y)^4=\sum _{ k=0 }^{ 4 }{ \begin{pmatrix} 4 \\ k \end{pmatrix} } { x }^{ 4-k }{ y }^{ k }
for at løse dette, vil vi nødt til at udvide summation for alle værdier af k.
Nu må vi vurdere i hvert enkelt af de resterende kombinationer:
\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac { 4! }{ 1!(4-1)! } = \frac { 4! }{ 1!3! } = 4
\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac { 4!, }{ 2!(4-2)! } = \frac { 4! }{ 2!2! } = 6
\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac { 4! }{ 3!(4-3)! } = \frac { 4! }{ 3!1! } = 4
at Erstatte disse heltal i ekspansion, har vi:
\displaystyle (x+y)^4 = { x }^{ 4} + 4 { x }^{ 3}{ y } + 6 { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } + 4 { x }{ y }^{ 3 } + { y }^{ 4 }
Find en Bestemt Sigt
rth sigt af binomial udvidelse kan findes med ligningen: { \begin{pmatrix} n \\ r-1 \end{pmatrix} }{ a }^{ n-(r-1) }{ b }^{ r-1 }.,
læringsmål
Øv dig i at finde et bestemt udtryk for en binomial udvidelse
Key Takeaways
hovedpunkter
nøglebegreber
- heltal: Et element i det uendelige og numerable sæt \left \{ \cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \cdots \right \}.
lad os gennemgå et par udvidelser af binomials for at overveje eventuelle mønstre, der er til stede i vilkårene.,
\displaystyle {(a+b)}^{1}=a+b
\displaystyle {(a+b)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}
\displaystyle {(a+b)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^3
\displaystyle {(a+b)}^{4}={a}^{4}+4{a}^{3}b+6{a}^{2}{b}^{2}+4a{b}^{3}+{b}^4
Et par ting, som bør være bemærket:
Hvis udvidelsen er kort, som for eksempel:
\displaystyle \begin{align} {(x+2)}^{3}&={x}^{3}+2{x}^{2}{2}^{1}+2{x}^{1}{2}^{2}+{2}^{3}\\ &={x}^{3}+4{x}^{2}+8{x}+8 \end{align}
Så det er nemt at finde et bestemt udtryk., Dette bliver vanskeligt og tidskrævende, når udvidelsen er stor. Der er heldigvis en genvej til at identificere bestemte vilkår for længere udvidelser. Følgende formel giver den rth udtryk i udvidelse:
\displaystyle { \begin{pmatrix} n \\ r-1 \end{pmatrix} }{ a }^{ n-(r-1) }{ b }^{ r-1 }
Huske, at kombinationen formel giver en måde at beregne \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}:
\displaystyle {\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{n!} {(n-k)!k!, }}
Eksempel: Find den femte sigt af {(3x-4)}^{12}
\displaystyle { \begin{pmatrix} 12 \\ 5-1 \end{pmatrix} }{ (3x) }^{ 12-(5-1) }{ (-4) }^{ 5-1 }
\displaystyle { \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} }{ (3x)}^{ 8 }{ (-4) }^{ 4 }
Husk at evaluere \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} ved hjælp af en kombination formel:
\displaystyle \begin{align} \frac{n!} {(n-k)!k! }&=\frac{12!}{(12-4)!4!, }\\ &=495 \end{align}
Subbing i \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}=495 i den formel, vi har:
\displaystyle 495{ (3x)}^{ 8 }{ (-4) }^{ 4 }
Når der tilføres strøm til de vilkår, resultatet er:
\displaystyle 495\cdot 6561{x}^{8} \cdot 256 =831409920{x}^{8}
Således, femte sigt af {(3x-4)}^{12} er 831409920{x}^{8}.